14. 自発的対称性の破れ vol.5

前回はコセット空間について解説した。今回は南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効理論のラグランジアンがコセット空間の計量テンソルを用いて表せることを示す。

南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学に関する定理

　14.3節で議論した $O(N)$ スカラー理論の有効ハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray}    \H_{\rm eff} &=&     - \frac{v^2}{2} \int d^3 x  \left(    R^{-1} \dot{R} R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}     \nonumber \\    &=&    - \frac{v^2}{2} \int d^3 x   ~ \Tr \left[    \left(   R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R   \right) W    \right]    \tag{14.68} \end{eqnarray}\]

で与えられた。 $\H_{\rm eff} = \int \ep (R ) d^3 x $ とおき、被積分関数（ハミルトニアン密度）を書き出すと

\[\begin{eqnarray}     \ep ( R ) & = & - \frac{v^2}{2} \Tr     \left(   R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R   \right) W    \nonumber \\    &=&    - \frac{v^2}{2} \left(    R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}     \tag{14.99} \end{eqnarray}\]

となる。ただし、$R$ は群 $G=O(N)$ の $N \times N$ 行列要素であり、$W$ は $N \times N$ 行列

\[  W \, = \,    \left(      \begin{array}{cccc}        0 & \cdots & 0 & 0 \\        \vdots & \ddots &   \vdots & \vdots \\        0 & \cdots & 0 & 0 \\        0 & \cdots & 0 & 1 \\      \end{array}    \right)   \tag{14.69} \]

で定義される。14.3節の(14.73)で示したように $\ep ( R )$ は条件式 $\ep ( R h ) = \ep ( R )$ を満たす。ただし、$h$ は小群（あるいは等方部分群）$H = O(N-1)$ の要素を表す。$\ep (R)$ の $W$ によりフレーム場１形式 $R^{-1} d R = i t^a E^a_i \th^i + i S^\al E^\al_\imath \th^\imath$ から $S^\al$ 部分が取り出される。ただし、添え字は $a, i = 1,2, \cdots, {\rm dim} H$ と $\al, \imath = 1,2, \cdots , {\rm dim}G - {\rm dim}H$ で指定される。これは $\ep (R )$ がコセット空間 $G/H = O(N)/O(N-1) = S^{N-1}$ 上の計量 $ds^2 = G_{\imath \jmath} ( \th ) d \th^\imath d \th^\jmath$ を用いて表せることを意味する。規格化 $\Tr ( S^\al S^\bt )  = \frac{1}{2}$ を用いると、$\ep (R )$ は

\[    \ep (R ) \, = \, \frac{v^2}{4} G_{\imath \jmath} \left( \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath + \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath \right)    \tag{14.100} \]

で与えられることが分かる。実際、より一般に、以下に示す南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学に関する定理が存在する。

連続的な対称性 $G$ が部分群 $H \subset G$ に自発的に破れる場合（$H$ は基底状態の期待値 $\bra \Om | \phi | \Om \ket$ の小群に当たる）、次の２つが成り立つ。

１．${\rm dim} G - {\rm dim} H$ 個の質量ゼロの粒子（あるいは質量ギャップがゼロの励起）が存在する。これらは南部-ゴールドストン粒子（あるいは南部-ゴールドストン・モード）と呼ばれる。

２．南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学は有効ハミルトニアン

 \[     \H_{\rm eff} \,  = \,  \frac{f^2}{2}  \int d^3 x  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    + G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right)   \tag{14.101}  \]

で与えられる。ただし、$ G_{\imath \jmath} ( \th ) d \th^\imath d \th^\jmath$ はコセット空間 $G/H$ の計量を表す。$\H_{\rm eff}$ に対応する有効ラグランジアンは\[\begin{eqnarray}      \L_{\rm eff} & = &    \frac{f^2}{2}  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    - G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right) \nonumber \\    &=&    \frac{f^2}{2}  \, G_{\imath \jmath} (\th ) \, \d_\mu \th^\imath \d_\mu \th^\jmath  \tag{14.102} \end{eqnarray}\]

と表せる。

ここで、係数 $f$ は古典的な基底状態の解、つまり元々のハミルトニアンの極小化から求まる。$O(N)$ 理論のハミルトニアン
\[ \H \, = \, \int d^3 x \left[ \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i )(\nabla \phi_i ) + \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} (\phi_i \phi_i ) \right] ~~~~~ ( \si < 0 < \la ) \tag{14.29}\]
の場合、この係数は $f = \sqrt{\frac{|\si |}{8 \la}}$ で与えられる。

例１: ハイゼンベルク強磁性体とスピン波

　この章の最初で議論したように自発的対称性の破れの簡単な例は強磁性体のハイゼンベルク模型で与えられる。この模型では転移温度 $T_c$ が存在し、この温度より低温では回転対称性の自発的な破れ $O(3)  \rightarrow  O(2)$ が起こり、ゼロでない磁化が発生する。関連するコセット空間は $O(3)/O(2) = S^2$ であり、スピン波と呼ばれる２つの南部-ゴールドストン・モードが現れる。

　２次元球面 $S^2$ の計量は

\[ ds^2 \, = \,  4 \frac{ dz d \bz}{(1+ z \bz )^2}   \tag{12.50} \]

と表示できるので、上の定理からスピン波の低エネルギー動力学は有効ハミルトニアン

\[    \H_{\rm eff}    \, = \, \al \int  d^3 x  \left(    \frac{ \dot{Z} \dot{\bar Z} }{ (1 + Z {\bar Z} )^2} +    \frac{ \nabla Z \nabla {\bar Z} }{ (1 + Z {\bar Z} )^2}    \right)    \tag{14.103} \]

で記述できる。ただし、$\al$ は定数であり、$Z = Z (t , \vec{x})$ はスピン波を表す複素スカラー場である。ハイゼンベルク模型は非相対論的な量子スピン系を扱うためローレンツ不変性は基本的に持たない。非相対論的な解析を行うには有効ハミルトニアンを

\[    \H_{\rm eff}    \, = \, \al \int d^3 x  \,     \frac{ \nabla Z \nabla {\bar Z} }{ (1 + Z {\bar Z} )^2}    \tag{14.104} \]

と置き換えればよい。また、有効ラグランジアン

\[    \L_{\rm eff} \, = \, \al  \,    \frac{ \d_\mu Z \, \d_\mu  {\bar Z} }{ (1 + Z {\bar Z} )^2}     \tag{14.105} \]

を用いると、スピン波の低エネルギー動力学を相対論的に扱うことができる。量子化されたスピン波はマグノン (magnon) とも呼ばれる。