14.4 コセット空間と低エネルギー有効理論
コンパクト・リー群 $G$ とその部分群 $H \subset G$ を考える。12.2節で議論したように、$G$ は微分可能なリーマン多様体であると見做せる。群の要素 $g \in G$ は多様体の点座標に対応する。ここで、部分群の要素 $h \in H$ として、点 $g$ を $gh$ を同等とみなす。すなわち、多様体 $G$ 上に同値性 $g \sim gh$ を課す。これにより、コセット多様体と呼ばれるより小さな多様体 $G/H$ が導かれる。$G/H$ の次元は
\[ {\rm dim} \, G/H \, = \, {\rm dim} G - {\rm dim} H \tag{14.75} \]
で与えられる。14.2節で出た生成子（リー代数の要素）についての記号
\[ T^A \, = \, \left\{ \begin{array}{l} t^a \, \in \underline{H} \\ S^{\al} \in \underline{G} - \underline{H} \end{array} \right. \tag{14.37} \]
を用いると、$G$ と $H$ の要素は原点 $( \th^A = 0 )$ の近傍でそれぞれ $g \approx 1 + i T^A \th^A$, $h \approx 1 - i t^a \th^a$ と表せる。よって、要素 $gh$ は $gh \approx 1 + i T^A \th^A - i t^a \th^a$ とパラメータ表示できる。これはコセット空間の次元が ${\rm dim} ( T^A - t^a ) = {\rm dim} S^\al$ であることを示しており、(14.75)に一致する。
$G/H$ 空間の関数は $f(gh) = f(g)$ に従う。すなわち、$G/H$ 上の関数は $H$ 変換のもとで不変な $G$ 上の関数で与えられる。13.1節で解説したように、ピーター-ワイルの定理によると、コンパクト・リー群 $G$ 上の関数は完全系を成す。これは、$G/H$ 上の関数にも当てはまる。このようなコセット空間上の関数について詳しくは、数学の表現論の分野において Harish-Chandra, Gelfand, Vilenkin, Naimark らによって研究された。
G/H 空間の計量
コンパクト・リー群 $G$ 上のカルタン-キリング計量については12.2節で定義した。ここではまずこの計量について復習してから $G/H$ 空間上の計量を考える。群 $G$ の要素 $g$ は
\[ g ( \th ) \, = \, \exp ( i T^A \th^A ) \tag{14.76} \]
とパラメータ表示される。ただし、$T^A$ は $G$ の生成子であり、$\th^A$ $(A = 1, 2, \cdots , {\rm dim } G )$ は連続バラメータを表す。生成子は規格化条件
\[ \Tr ( T^A T^B ) \, = \, \frac{1}{2} \del^{AB} \tag{14.77} \]
に従う。$G$ のフレーム場１形式は
\[ g^{-1} d g \, = \, iT^A E^A_I ( \th ) d \th^I \tag{14.78} \]
で定義される。ただし、$E^A_I ( \th )$ $(A, I = 1, 2, \cdots , {\rm dim } G )$ は $G$ 上のフレーム場を表す。このフレーム場はパラメータ表示(14.76)から計算できる。例えば、12.2節では $SU(2)$ 群のフレーム場は２つの異なるパラーメータ表示を用いて
\[ E^m_l ( \th ) \, \simeq \, \del^m_l - \hf \ep^{m}_{~ \, lk} \, \th^k \tag{12.18} \]
\[ E^i_k (a, b) \, = \, 2 \left( \del^i_k \, a + \frac{b^i b_k }{a} + \ep^{i}_{\, jk} \, b_k \right) \tag{12.24} \]
と求まった。$G$ 上のカルタン-キリング計量 $ds^2$ は
\[ ds^2 \, = \, -2 \Tr ( g^{-1} d g \, g^{-1} d g ) \, = \, E^A_I E^A_J \, d \th^I d \th^J \, = \, G_{IJ} (\th ) d \th^I d \th^J \tag{14.79} \]
と定義される。ただし、$E_A^I$ は $G$ 上のフレーム場であり、$G_{IJ} = E^A_I E^A_J$ は $G$ 上の計量テンソル である。
$G$ がユニタリー群である場合 (あるいはより一般に複素構造を持つとき) 、フレーム場の積は $E^{* A}_{I} E^A_J = E^{\bar{A}}_{\bar{I}} E^A_J = G_{\bar{I} J}$ と表せる。このとき、対応する$G$ 上の計量は
\[ ds^2 \, = \, E^{\bar{A}}_{\bar{I}} E^A_J \, d \th^{\bar{I}} d \th^J \, = \, G_{\bar{I} J} (\th ) d \th^{\bar{I}} d \th^J \tag{14.80} \]
と書ける。
式(14.37)に従って、生成子 $T^A$ を $t^a \in \underline{H}$ と $S^\al \in \underline{G} - \underline{H}$ に分解すると $g^{-1} d g$ は
\[ g^{-1} d g \, = \, i t^a E^a_i d \th^i + i S^\al E^\al_\imath d \th^\imath \tag{14.81} \]
と表せる。規格化 $\Tr (S^\al S^\bt ) = \frac{1}{2} \del^{\al\bt}$ を用いると、フレーム場の $S^\al$ 部分は
\[ E^\al_\imath d \th^\imath \, = \, - i 2 \Tr ( S^\al g^{-1} d g ) \, \equiv \, E^\al_\imath (g ) d \th^\imath \tag{14.82} \]
と分離できる。ただし、$E^\al_\imath (g )d \th^\imath $ は $E^\al_\imath d \th^\imath$ が $g^{-1} d g$ の関数であることを示す。変換 $g \rightarrow gh$ $( h \in H )$ のもとでフレーム場１形式 $g^{-1} d g$ は
\[ g^{-1} d g \, \rightarrow \, h^{-1} g^{-1} d ( gh ) \, = \, h^{-1} g^{-1} d g \, h \, + \, h^{-1} d h \tag{14.83} \]
と変化する。このとき、$E^\al_\imath (g ) d \th^\imath$ の変換は
\[\begin{eqnarray} E^\al_\imath ( g ) d \th^\imath \, \rightarrow \, E^\al_\imath ( gh ) d \th^\imath & = & - i2 \Tr ( S^\al h^{-1} g^{-1} d g \, h ) - i2 \Tr ( S^\al h^{-1} d h ) \nonumber \\ &=& -i2 \, \D^{\al\bt} (h) \, \Tr ( S^\bt g^{-1} d g ) \nonumber \\ &=& \D^{\al\bt} (h) \, E^\bt_\imath (g) d \th^\imath \tag{14.84} \end{eqnarray}\]
と表せる。ただし、関係式 $h^{-1} d h = i t^a E^a_i d \th^i$ と $\Tr ( S^\al t^a ) = 0$ を用いた。$\D^{\al \bt} (h)$ は $S^\al$ の随伴表現を表し、
\[ h \, S^\al \, h^{-1} \, = \, \D^{\al\bt} (h) \, S^\bt \tag{14.85} \]
で定義される。14.2節で考えたように $H$ を直交群と仮定すると、$\D^{\al \bt}(h)$ は直交性関係
\[ \D^{\al\bt} (h) \D^{\al \ga} ( h) \, = \, \D^{\bt\al} (h^T ) \D^{\al \ga} ( h) \, = \, \D^{\bt \ga} (h^T h ) \, = \, \del^{\bt \ga} \tag{14.86} \]
を満たす。ただし、$h^T = h^{-1}$ である。よって、$G/H$ 空間上の計量は
\[\begin{eqnarray} d s^2 &=& E^\al_\imath (g ) E^\al_\jmath (g) \, d \th^\imath d \th^\jmath \nonumber \\ &=& E^\al_\imath (gh ) E^\al_\jmath (gh ) \,d \th^\imath d \th^\jmath \tag{14.87} \end{eqnarray}\]
と定義できる。明らかにこれは $g \rightarrow g h$ 変換のもとで不変である。
$H$ がユニタリー群の場合、$h^\dag = (h^{*})^{T} = h^{-1}$ であるので直交性関係(14.86)は
\[ \D^{* \al\bt} (h) \D^{\al \ga} ( h) \, = \, \D^{\bt\al} (h^\dag ) \D^{\al \ga} ( h) \, = \, \D^{\bt \ga} (h^\dag h ) \, = \, \del^{\bt \ga} \tag{14.88} \]
と書き換えられることに注意しよう。このとき、$G/H$ 上の計量は
\[ ds^2 \, = \, E^{\bar{\al}}_{\bar{\imath}} E^\al_\jmath \, d \th^{\bar{\imath}} d \th^\jmath
\, = \, G_{\bar{\imath} \jmath} ( \th ) \, d \th^{\bar{\imath}} d \th^\jmath \tag{14.89} \]
\, = \, G_{\bar{\imath} \jmath} ( \th ) \, d \th^{\bar{\imath}} d \th^\jmath \tag{14.89} \]
と表せる。これは計量(14.80)のコセット空間版に対応する。
以上の結果を12.2節で求めた $S^2 = SU(2)/U(1)$ 上の計量に適用してみよう。群 $G= SU(2)$ の要素は $g = \exp ( i T^A \th^A )$ で定義される。ただし、生成子 $T^A = \frac{1}{2} \si^A$ $(A = 1,2,3)$ はパウリ行列
\[ \si^1 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) , ~~~ \si^2 = \left( \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{array} \right) , ~~~ \si^3 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right) \tag{14.90} \]
で与えられる。部分群 $H = U(1)$ を生成子 $t^3 =T^3$ で指定すると、残りの生成子 $S^\al = T^\al$ $( \al = 1, 2)$ はコセット空間 $G/H$ に対応する。ここで、生成子 $S^\al \in \underline{G} - \underline{H}$ 添え字を複素化して
\[ T^+ = T^1 + i T^2 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right) , ~~~ T^- = T^1 - i T^2 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) \tag{14.91} \]
を用いる。これに応じてパラメータ $\th^\pm$ を
\[ \th^+ \, = \, \frac{1}{2} ( \th^2 + i \th^1 ) \, , ~~~ \th^- \, = \, \frac{1}{2} ( \th^2 - i \th^1 ) \tag{14.92} \]
と定義すると、 $i T^A \th^A$ は
\[ i T^A \th^A \, = \, \left( \begin{array}{cc} \frac{i}{2} \th^3 & \frac{i}{2} ( \th^1 - i \th^2 ) \\ \frac{i}{2} ( \th^1 + i \th^2 ) & - \frac{i}{2}\th^3 \\ \end{array} \right) \, = \, \left( \begin{array}{cc} \frac{i}{2} \th^3 & \th^+ \\ - \th^- & - \frac{i}{2}\th^3 \\ \end{array} \right) \tag{14.93} \]
と表示できる。式(14.82)から $G/H$ 上のフレーム場は
\[ E^\al_\imath d \th^\imath = -i2 \Tr ( T^\al g^{-1} d g ) \tag{14.94} \]
と定義できる。ただし、$\al$, $\imath$ はそれぞれ $+$ か $-$ の値をとる。また、12.2節の(12.44)-(12.47)で具体的に示したようにフレーム場１形式 $ g^{-1} d g $ は $\th^\pm$ と $\th^3$ を用いて
\[ g^{-1} d g \, = \, \left( \begin{array}{cc} \frac{\th^+ d \th^- - \th^- d \th^+ }{2 (1 + \th^+ \th^- )} + \frac{i}{2} d \th^3 & \frac{e^{-i \th^3} d \th^+ }{1 + \th^+ \th^-} \\ \frac{- e^{i \th^3} d \th^- }{1 + \th^+ \th^-} & \frac{ - \th^+ d \th^- + \th^- d \th^+ }{2 (1 + \th^+ \th^- )} - \frac{i}{2} d \th^3\\ \end{array} \right) \tag{14.95} \]
と表せる。以上より $E^\pm_\imath d \th^\imath$ を計算すると
\[\begin{eqnarray} E^+_\imath d \th^\imath &=& -i2 \Tr ( T^+ g^{-1} d g ) = \frac{i2 e^{i\th^3}}{1 + \th^+ \th^-} d \th^- \, = \, E^+_- d \th^- \, , \tag{14.96}\\ E^-_\imath d \th^\imath &=& -i2 \Tr ( T^- g^{-1} d g ) = \frac{- i2 e^{- i\th^3}}{1 + \th^+ \th^-} d \th^+ \, = \, E^-_+ d \th^+ \tag{14.97} \end{eqnarray} \]
を得る。よって、$S^2 = SU(2)/U(1)$ 上の計量は
\[ d s^{2}_{SU(2)/U(1)} \, = \, E^+_- E^-_+ \, d\th^- d \th^+ \, = \, \frac{ 4 \, d\th^- d \th^+ }{(1+ \th^+ \th^- )^2} \tag{14.98} \]
で与えられる。明らかにこの計量は $\th^3$ に依存せず、以前の結果
\[ ds^2 \, = \, 4 \frac{ dz d \bz}{(1+ z \bz )^2} \tag{12.50} \]
と一致する。
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