14. 自発的対称性の破れ vol.3

 14.3 南部-ゴールドストン粒子の動力学

この節では前回に引き続き $O(N)$ 対称性の自発的破れを例に南部-ゴールドストン粒子の動力学を考える。前回と同じくハミルトニアン

\[    \H \, = \, \int d^3 x \left[   \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi )^2 + V (\phi_i \phi_i )    \right]   \tag{14.56}\]

を持つ実ベクトル場 $\phi_i$ $(i = 1,2, \cdots, N)$ の理論を採用する。ここで、ポテンシャル項は

\[    V ( \phi_i \phi_i )    \, = \,    \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} \phi_i \phi_i    ~~~~~~ ( \si < 0 < \la ) \tag{14.41} \]

で定義される。ポテンシャルの極小は

\[    \phi_i \phi_i \, = \, v^2     \tag{14.57} \]

で与えられる。ただし、$v =  \sqrt{\frac{|\si |}{4 \la}}$ である。よって、古典的な基底状態の解の1つとして

\[    \phi^{(0)} \, = \, \left( 0,  \cdots , 0, v \right)^T     \tag{14.58} \]

を選択できる。ハミルトニアンは $O(N)$ 群の変換 $\phi_i \rightarrow R_{ij} \phi_j$ のもとで不変である。ただし、$R_{ij}$ は直交関係 $R_{ij} R_{ik} = \del_{jk}$ を満たす。$R_{ij}$ は $O(N)$ 群の $N \times N$ 行列要素を表す。$\phi^{(0)}$ の等方部分群あるいは小群は $O(N-1)$ で与えられる。$R_{ij} \phi^{(0)}_{j} = \phi^{(0)}_{i}$ を満たす全ての $R_{ij}$ の集合に注目すると、そのような $R_{ij}$ の自由度は ${\rm dim} \left[ O(N) \right] - {\rm dim} \left[ O(N-1) \right] = N-1$ である。前節で議論したように、各自由度について南部-ゴールドストン粒子（あるいは南部-ゴールドストン・モード）が存在する。

　前節では実ベクトル場 $\phi_i = \phi^{(0)}_{i} + \eta_i$ をハミルトニアン(14.56)に代入して、南部-ゴールドストン・モードの動力学を $O(N)$ 群の生成子を用いて議論した。しかし、今節では先ず $\phi^{(0)}$ のゼロでない成分のみの摂動を考える。

\[    \chi \, = \,   ( 0 , \cdots , 0 , v + \rho (x) )^T     \tag{14.59} \]

ただし、$\rho (x)$ は実スカラー場である。そして $\chi_i$ の $O(N)$ 変換を古典的な基底状態 $\phi^{(0)}$ の周りの揺らぎと見做す。つまり、

\[    \phi_i \,  = \, R_{ij} (x) \, \chi_j     \tag{14.60}  \]

とおく。ただし、$R_{ij} (x)$ は時空間座標に依存する $O(N)$ 群の要素である。$\chi$ の小群も $O(N-1)$ なので、$R_{ij} (x)$ のうち独立な場の数は $N-1$ である。$\rho ( x)$ も含めると(14.60)の揺らぎの場 $\phi_i$ $(i = 1,2, \cdots ,N)$ は確かに $N$ 個の実スカラー場で記述されることが分かる。このパラメータ表示を用いると $O(N)$ 群の生成子を持ち出さなくても $N-1$ 個の南部-ゴールドストン粒子を記述できることに注意しよう。

　つぎに、(14.60)の揺らぎの場 $\phi_i$ をハミルトニアン(14.56)に代入する。$\phi_i$ は列ベクトルであるので、その2乗は

\[    \phi_i \phi_i \, = \, ( R_{ij} \chi_j )^T \, R_{ik} \chi_k \, = \,     \chi_j^T ( R^T R )_{jk} \chi_k \, = \, ( v + \rho )^2    \tag{14.61}  \]

と計算できる。ただし、直交関係 $( R^T R )_{jk} = \del_{jk}$ と $\chi_i = \del_{iN} (v + \rho )$ を用いた。これはポテンシャル項 $V ( \phi_i \phi_i )$ が $R_{ij} (x)$ に依らないことを示す。$\dot{\phi} = \dot{R} \chi + R \dot{\chi}  =  R ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )$ の2乗は次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray}    \dot{\phi}^2 &=&     ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )^T R^T R \, ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )    \nonumber \\    &=&    ( \chi^T ( R^{-1} \dot{R} )^T + \dot{\chi}^T ) ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )    \nonumber \\    &=&        \chi^{T} ( R^{-1} \dot{R} )^{T} R^{-1} \dot{R}  \chi  +  \chi^{T}  R^{-1} \dot{R}  \dot{\chi}    + \dot{\chi}^T  R^{-1} \dot{R}  \chi   +    \dot{\chi}^T \dot{\chi}    \nonumber \\    &=&    \chi^{T} ( R^{-1} \dot{R} )^{T} R^{-1} \dot{R}  \chi  + 2 \dot{\rho} (v+ \rho ) (R^{-1} \dot{R} )_{\! N \! N} + \dot{\rho}^2   \tag{14.62} \end{eqnarray}\]

ただし、$ R^T R  = {\bf 1}$ と $\dot{\chi}_i = \del_{i  N} \, \dot{\rho}$ を用いた。ここで、$R^{-1} \dot{R}$ の反対称性関係

\[    (R^{-1} \dot{R})^T \, = \, \dot{R}^T R^{-1 \, T}    \, = \, \dot{R}^{-1} R \, = \, - R^{-1} \dot{R}   \tag{14.63} \]

に注意する。これより明らかに $(R^{-1} \dot{R} )_{\! N \! N} = 0$ である。よって、$\dot{\phi}^2 $ は

\[    \dot{\phi}^2 \, = \, - \chi^{T} ( R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R} )  \chi  + \dot{\rho}^2   \tag{14.64} \]

と表せる。同様に、$ ( \nabla \phi )^2 $ は

\[    ( \nabla \phi )^2 \, = \, - \chi^{T} \left( R^{-1} \nabla R ~  R^{-1} \nabla R \right)  \chi  + ( \nabla \rho )^2   \tag{14.65} \]

と計算できる。したがって、(14.60)を(14.56)に代入するとハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray}    \H    &=&     \int d^3 x    \left( \frac{1}{2}\dot{\rho}^2  + \frac{1}{2} ( \nabla \rho )^2  + V ( (v + \rho )^2 ) \right.    \nonumber \\    &&    ~~~   \left.  -  \frac{1}{2} \chi^T ( R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R} ) \chi    -  \frac{1}{2} \chi^T ( R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R ) \chi \right)    \tag{14.66} \end{eqnarray}\]

と表せる。ポテンシャル項 $V$ は実スカラー場 $\rho (x)$ の汎関数であり、一般にこれは $\rho (x)$ の質量項を与える。一方、$R (x)$ は質量項をもたず、$(N-1)$ 個の南部-ゴールドストン粒子を表す。これらの南部-ゴールドストン粒子の動力学はハミルトニアン(14.66)の $R$ 部分

\[\begin{eqnarray}     \H_{R}  &= & - \frac{1}{2} \int d^3 x    ~ \chi^T \left(    R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R \right) \chi    \nonumber \\    &=& - \frac{1}{2} \int d^3 x ~ ( v + \rho )^2 \left(    R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}  \tag{14.67}  \end{eqnarray}\]

で与えられる。ただし、$\chi$ の具体的なパラメータ表示(14.59)を用いた。$\rho$ の質量が無限小となる低エネルギー・スケールでは $\rho$ と $R$ の相互作用項を含む $\rho$ に依存する項は無視できる。よって、南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効理論はハミルトニアン

\[\begin{eqnarray}    \H_{\rm eff} &=&     - \frac{v^2}{2} \int d^3 x  \left(    R^{-1} \dot{R} R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}     \nonumber \\    &=&    - \frac{v^2}{2} \int d^3 x   ~ \Tr \left[    \left(   R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R   \right) W    \right]    \tag{14.68} \end{eqnarray}\]

で記述される。ただし、$R$ は $O(N)$ 群の $N \times N$ 行列要素を表し、$W$ は $N \times N$ 行列

\[  W \, = \,    \left(      \begin{array}{cccc}        0 & \cdots & 0 & 0 \\        \vdots & \ddots &   \vdots & \vdots \\        0 & \cdots & 0 & 0 \\        0 & \cdots & 0 & 1 \\      \end{array}    \right)   \tag{14.69} \]

で与えられる。

　$\rho$ に関する項を無視するのは古典的には正しいが、量子論では一般的に正しくない。例えば、たとえ低エネルギー近似であっても質量を持つ $\rho$ 粒子による真空の揺らぎを無視できない。このような量子補正は基底状態の期待値 $v$ を再定義する（繰り込む）ことで対応できる。実際、南部-ゴールドストン粒子の動力学に関して次の定理が存在する。

式(14.68)のハミルトニアン $\H_{\rm eff}$ は、全ての量子論的な相互作用も含めた低エネルギー有効ハミルトニアンである。

（この定理の証明には量子論における相関関数の大域対称性を記述するウォード-高橋恒等式が用いられる。）

　最後に、ハミルトニアン $\H_{\rm eff}$ の等方部分群あるいは小群も群 $G = O (N)$ の部分群 $H = O(N-1)$ で与えられることを示す。部分群 $H \subset G$ の $N \times N$ 行列要素を $h$ とし、南部-ゴールドストン粒子の $h$ 変換

\[ R \longrightarrow R^\prime = R h  \tag{14.70} \]

を考える。ことのき $\dot{R}$ と $R^{-1} \dot{R}$ の変換は

\[\begin{eqnarray}     \dot{R}^\prime &=&    \dot{R} h + R \dot{h} \, = \, R ( R^{-1} \dot{R} h + \dot{h} )     \tag{14.71}\\    R^{\prime -1} \dot{R}^\prime    &=&    h^{-1} R^{-1}  \dot{R}^\prime  \, = \,    h^{-1} R^{-1} \dot{R} h + h^{-1} \dot{h}     \tag{14.72} \end{eqnarray}\]

と表せる。ハミルトニアン $\H_{\rm eff}$ の被積分関数の第一項は $\Tr  \left( R^{\prime -1} \dot{R}^\prime R^{\prime -1} \dot{R}^\prime \right) W$ と書ける。この項の変換は

\[\begin{eqnarray}     \Tr  \left( R^{\prime -1} \dot{R}^\prime R^{\prime -1} \dot{R}^\prime \right) W    &=&    \Tr \left( h^{-1} R^{-1} \dot{R}  R^{-1} \dot{R} h \right) W    +      \Tr \left( h^{-1} R^{-1} \dot{R}  \dot{h} \right)  W    \nonumber \\    &&     +  \Tr \left( h^{-1} \dot{h} h^{-1} R^{-1} \dot{R} h \right) W     +    \Tr \left( h^{-1} \dot{h} h^{-1} \dot{h} \right) W    \nonumber \\    &=&    \Tr \left( R^{-1} \dot{R}  R^{-1} \dot{R} \right) h W h^{-1}    \nonumber \\    &=&    \Tr \left( R^{-1} \dot{R}  R^{-1} \dot{R}  \right) W　\tag{14.73}　\end{eqnarray}　\]

と計算できる。ただし、トレースの巡回性と関係式 $\dot{h} W = W \dot{h} = 0$, $h W = W h^{-1} = W$ を用いた。これらの関係式は $h$ と $\dot{h}$ の行列表示

\[    h \, = \,    \left(      \begin{array}{cc}        \widetilde{h} (x)         &        \begin{array}{c}          0 \\          \vdots \\          0        \end{array}         \\        0 \, \cdots \, 0 \!\! & 1 \\      \end{array}    \right), ~~~~    \dot{h} \, = \,    \left(      \begin{array}{cc}        \dot{\widetilde{h}} (x)         &        \begin{array}{c}          0 \\          \vdots \\          0        \end{array}         \\        0 \, \cdots \, 0 \!\! & 0 \\      \end{array}    \right) \tag{14.74} \]

から簡単に得られる。ここで、$\widetilde{h} (x)$ は小群 $O(N-1)$ の $(N-1) \times (N-1)$ 行列要素を表す。同様に、ハミルトニアン $\H_{\rm eff}$ の被積分関数第二項も $O(N-1)$ 変換のもとで不変であることが分かる。式(14.68)のハミルトニアンを $\H_{\rm eff} = \int \ep (R) d^3 x$ と表すと、これは被積分関数 $\ep (R )$ が関係式 $\ep (R) = \ep (Rh)$ を満たすことを意味する。よって、$\H_{\rm eff}$ の小群は確かに $O(N)$ 群の部分群 $O(N-1)$ であることが示された。幾何学的に解釈すると、南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学はコセット空間 $O(N) / O(N-1)$ で決定づけられる。次節では一般的なコセット空間について考え、コセット空間から南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー理論がどのように得られるかをいくつかの例を用いて解説する。