14. 自発的対称性の破れ vol.2

 14.2 ゴールドストンの定理

ゴールドストンの定理は以下の通り。

連続的な大域的対称性が自発的に破れると、運動量がゼロの極限 $( |\vec{p}| \rightarrow 0 )$ でエネルギーがゼロ $( \om_p \rightarrow 0 )$ となる状態が存在する。

相対論ではこの状態は質量ゼロの粒子に対応し、スピン-0 のスカラー粒子を記述する。この粒子は南部-ゴールドストン・ボソンと呼ばれる。ゴールドストンの定理は非相対論的な理論にも適用され、その場合、上記の状態は南部-ゴールドストン・モードと呼ばれる場の励起に対応する。南部-ゴールドストン・モードの動力学は群論の性質だけから導出できる。以下の節では、自発的対称性の破れの例を用いてゴールドストンの定理がどのように適用されるかを考える。

複素スカラー場

　まず、前回に引き続きハミルトニアン

\[    \H \, = \, \int d^3 x    \left[    | \dot{\phi} |^2 + |\nabla \phi |^2 + \la    \left(    |\phi |^2  - \frac{|\si |}{2 \la}    \right)^2    - \frac{|\si |^2}{4 \la}    \right]    ~~~~~ ( \si< 0 < \la )    \tag{14.14} \]

を持つ複素スカラー場 $\phi$ を取り上げる。$\phi$ の励起は

\[    \phi \, = \, \sqrt{\frac{|\si |}{2 \la}} \, e^{i \al}  + \, \eta ~    \tag{14.23} \]

と表せる。ただし、$\eta$ は $\bra \Om | \eta | \Om \ket = 0$ に従う複素スカラー場である。別のパラメータ表示を使うと $\phi$ は

\[    \phi (x) \, = \, e^{i \chi (x)} \left(    \sqrt{\frac{|\si |}{2 \la}} e^{i \al} + \rho (x)    \right)    \tag{14.24} \]

とも書ける。ただし、$\chi$ と $\rho$ は実スカラー場である。$\chi$ と $\rho$ の1次のオーダーで $\phi$ は

\[    \phi \, \approx \, \phi_0 + i \chi \phi_0 + \rho + \cdots    \tag{14.25} \]

と表せる。ただし、$\phi_0 = \sqrt{\frac{|\si |}{2 \la}} e^{i \al}$ である。条件式 $\bra \Om | \eta | \Om \ket = 0$ は1次のオーダーで $\bra \Om | \chi | \Om \ket = \bra \Om | \rho | \Om \ket = 0$ と置き換えられる。パラメータ表示(14.24)から $\dot{\phi}$ と $\nabla \phi$ は

\[\begin{eqnarray}    \dot{\phi} &=& e^{i \chi} \left[    \dot{\rho} + i \dot{\chi} ( \phi_0 + \rho )    \right]   \tag{14.26}\\    \nabla \phi &=& e^{i \chi} \left[    \nabla \rho + i \nabla \chi ( \phi_0 + \rho )    \right]     \tag{14.27} \end{eqnarray}\]

と計算できる。これより、ハミルトニアン(14.14)は

\[\begin{eqnarray}    \H &=& \int d^3 x \Biggl[    \dot{\rho}^2 + \dot{\chi}^2 | \phi_0 +\rho |^2    + (\nabla \rho )^2 + (\nabla \chi )^2 | \phi_0 +\rho |^2    \nonumber \\    &&    \hspace{4.5cm}    + \,  \la \left(  | \phi_0 + \rho |^2 - \frac{|\si |}{2\la}  \right)^2    - \frac{|\si |^2}{4 \la}    \Biggr]    \nonumber \\    &=&    \int d^3 x \Biggl[    \dot{\rho}^2 + ( \nabla \rho )^2 + m^2 \rho^2  + | \phi_0 |^2 ( \dot{\chi}^2 + (\nabla \chi )^2 )        + \O( \rho^3 )   -\la |\phi_0 |^4    \Biggr]    \tag{14.28} \end{eqnarray}\]

と書ける。ただし、$| \phi_0 + \rho |^2 = (\phi_0 + \rho )(\phi_0^* + \rho )$, $m^2 = \la (\phi_0 + \phi_0^* )^2 = 4 \la ( {\rm Re} \, \phi_0 )^2$ である。$\rho$ について3次以上の項 $\O (\rho^3 )$ を摂動的に扱うと $\rho$ は質量 $m > 0$ の粒子を表し、$\chi$ は質量ゼロの粒子を表すことが分かる。分散関係はそれぞれ $\om_p = \sqrt{p^2 + m^2}$, $\om_p = \sqrt{p^2}$ で与えられる。

　ハミルトニアン(14.28)のポテンシャル項は $\O(\rho^3 )$ と定数で与えられ、$\chi$ に依らない。これは、励起モードが $\rho$ ではなく $\chi$ で与えられることを意味する。よって、$U(1)$ 対称性 $\phi \rightarrow e^{i \th} \phi$ の自発的な破れの自然な帰着として質量ゼロ粒子が現れることが分かる。この励起モードは南部-ゴールドストン・モードと呼ばれる。また、ハミルトニアン(14.28)から $\chi$ の適当な規格化は $\chi \rightarrow | \phi_0 |^{-1} \chi$ で与えられることが分かる。ただし、$|\phi_0 | = \sqrt{\frac{| \si | }{2\la}} $ である。

O(N) 対称性の自発的破れ

　つぎに自発的対称性の破れのもう１つの例を考える。ハミルトニアン

\[    \H \, = \,    \int d^3 x \left[    \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i  )(\nabla \phi_i  )    + \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} (\phi_i \phi_i )    \right]    \tag{14.29}\]

$( i = 1,2, \cdots , N )$ をもつ $N$ 次元の実ベクトル場 $\phi = ( \phi_1 , \phi_2 , \cdots , \phi_N )^T$ の理論を考える。明らかにハミルトニアンは変換

\[    \phi_i ~ \longrightarrow ~ R_{ij} \phi_j    \tag{14.30} \]

のもとで不変である。ただし、$ R_{ij}$ は直交関係

\[    R_{ij} R_{ik } \, = \, \del_{jk}    \tag{14.31} \]

を満たす。つまり、行列表現で $( R^{T} R )_{jk} = \del_{jk} = {\bf 1}$ と書ける。ただし、${\bf 1}$ は $N \times N$ 恒等行列である。つまり、$R$ は $O(N)$ 群の要素である。

　前回の例と同様にハミルトニアンが下限をもつためには $\la > 0$ が必要となる。よって、$\si$ の符号により次のように場合分けができる。

1. $\si > 0$ の場合、基底状態は $\phi_i = 0$ で与えられる。このとき期待値は $\bra \Om | \phi_i | \Om \ket = 0$ であり、自発的対称性の破れは起きない。
2. $\si < 0$ の場合、$\H$ のポテンシャル項は $\la \left( \phi_i \phi_i - \frac{|\si |}{4 \la} \right)^2 - \frac{|\si |^2}{16 \la}$ と表せる。よって、古典的な基底状態は $\phi_i \phi_i = \phi_1^2 + \phi_2^2 + \cdots + \phi_N^2 = \frac{| \si |}{4 \la}$ で与えられる。

後者の場合、基底状態の期待値として例えば

\[     \phi^{(0)} \, \equiv \,    \bra \Om | \phi | \Om \ket \, = \,    \left( 0,  \cdots , 0, \sqrt{\frac{|\si |}{4 \la}} \right)^T        \tag{14.32} \]

を選べる。ベクトル成分で表すと、$\phi^{(0)}_{1} =\phi^{(0)}_{2} =  \cdots = \phi^{(0)}_{N-1} = 0$, $\phi^{(0)}_{N} = \sqrt{\frac{|\si |}{4 \la}}$ と書ける。$\phi^{(0)}$ は対称性群 $O(N)$ の部分群 $O(N-1)$ の変換のもとで不変であることに注意する。このような部分群 $H \subset G$ を $\phi^{(0)}$ の等方部分群 (isotropy group) あるいは小群 (little group) と呼ぶ。いまの場合、$H = O(N-1)$, $G =O(N)$ である。$\phi^{(0)}$ の不変性は

\[    R_{ij} (h ) \phi^{(0)}_{j}    \, = \, \phi^{(0)}_{i}    \tag{14.33} \]

と表せる。ただし、$h \in H$ である。$O(N-1)$ 群による $\phi_i$ の変換は

\[    \phi_i ~ \longrightarrow ~ R_{ij} (h) \phi_j \, = \, h^{-1} \phi_i \, h     \tag{14.34} \]

で与えられる。よって、$h^{-1} \phi_i \, h$ の基底状態での期待値は

\[\begin{eqnarray}    \bra \Om | h^{-1} \phi_i  h | \Om \ket    &=&    R_{ij} (h ) \bra \Om | \phi_j | \Om \ket    \nonumber \\    &=&    R_{ij} (h ) \phi^{(0)}_{j}    \, = \, \phi^{(0)}_{i}    \, = \,    \bra \Om | \phi_i  | \Om \ket    \tag{14.35} \end{eqnarray}\]

と計算できる。これより直ちに関係式

\[    h | \Om \ket \, = \, | \Om \ket   \tag{14.36} \]

が得られる。よって、部分群 H の対称性は自発的に破れない。

　自発的対称性の破れは部分群 $H$ に属さない $G$ の要素による変換で与えられる。$O(N)$ 群の生成子（あるいは $O(N)$ 代数の要素）を $T^A$ で表す。ただし、$A = 1,2, \cdots, \frac{1}{2}N(N-1)$ である。物理状態の直交変換は群の要素 $R = \exp ( i T^A \th^A )$ の作用で実現される。生成子 $T^A$ は $t^a \in \underline{H}$ と $S^{\al} \in \underline{G} - \underline{H}$ に分解できる。ただし、$\underline{G}$, $\underline{H}$ はそれぞれ $O(N)$ 代数と $O(N-1)$ 代数を表す。

\[    T^A \, = \, \left\{    \begin{array}{l}      t^a \, \in \underline{H} ~~~~~~~~~~~~ a = 1,2, \cdots, \frac{1}{2}(N-1)(N-2)  \\      S^{\al} \in \underline{G} - \underline{H} ~~~~~  \al = 1,2, \cdots, N-1    \end{array}    \right.    \tag{14.37} \]

$S^\al$ の独立な要素の数は ${\rm dim} G - {\rm dim} H$ で与えられる。期待値 $\phi^{(0)}_{i}$ の不変性 (14.33) は無限小近似で

\[    ( {\bf 1} + i t^a \th^a )_{ij} \, \phi^{(0)}_{j} \, =  \, \phi^{(0)}_{i}      \tag{14.38} \]

と表せる。よって、$\phi^{(0)}$ への $t^a$ と $S^\al$ の作用は

\[    t^a  \phi^{(0)} \, = \, 0 \, , ~~~    S^\al  \phi^{(0)} \, \ne \, 0    \tag{14.39} \]

で与えられる。

　ここで、簡単のためハミルトニアン(14.29)を

\[    \H \, = \,    \int d^3 x \left[    \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i )(\nabla \phi_i )    + V( \phi_i \phi_i )    \right]    \tag{14.40} \]

と書く。ただし、$V ( \phi_i \phi_i )$ はポテンシャル項

\[    V ( \phi_i \phi_i )    \, = \,    \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} \phi_i \phi_i     ~~~~~~ ( \si < 0 < \la ) \tag{14.41} \]

である。ハミルトニアンの極小化は

\[    \frac{\d V}{\d \phi_i}  \, = \, 0   \tag{14.42} \]

で与えられる。古典的な基底状態 $\phi^{(0)}$ は上式の解である。ポテンシャル項の $O(N)$ 変換のもとでの不変性は

\[    \del V \, = \, \frac{\d V}{\d \phi_i} \del \phi_i \, = \, 0  \tag{14.43} \]

と表せる。ここで、$\del \phi_i$ は $O(N)$ 変換による $\phi_i$ の変分

\[    \phi_i ~ \longrightarrow ~ \phi_i^\prime \, = \, R_{ij} \phi_i    \, \approx \, (\del_{ij} + i \th^A T^{A}_{ij} ) \phi_j   \tag{14.44} \]

である。無限小近似で $\del \phi_i = i \th^A T^{A}_{ij} \phi_j$ となるので、関係式(14.43)は

\[    \frac{\d V}{\d \phi_i} \, T^{A}_{ij} \, \phi_j  \, = \, 0     \tag{14.45} \]

と書ける。$\phi_k$ について微分をとると、

\[    \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k } \, T^{A}_{ij} \, \phi_j    \, + \,    \frac{\d V}{\d \phi_i} T^{A}_{ik} \, = \, 0    \tag{14.46} \]

となる。上式の全ての $\phi_i$ を $\frac{\d V}{\d \phi_i} = 0$ の解、すなわち $\phi_i = \phi_{i}^{(0)}$ とおくと、

\[    \left(    \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k }    \right)_{\phi^{(0)}}    T^{A}_{ij} \phi^{(0)}_{j} \, = \, 0    \tag{14.47} \]

を得る。古典的な基底状態 $\phi^{(0)}$ からの励起モード $\eta_i$ の動力学は実ベクトル場

\[    \phi_i = \phi^{(0)}_{i} + \eta_i    \tag{14.48} \]

をハミルトニアン(14.40)に代入して解析できる。$\phi_{i}^{(0)}$ の周りでの $V$ のテイラー展開を用いると、ハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray}    \H & = & \int d^3 x \left[    \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi )^2 + V (\phi_i \phi_i )    \right]    \nonumber \\    &=&  \int d^3 x \Biggl[    \frac{1}{2} \dot{\eta}^2 + \frac{1}{2} (\nabla \eta )^2 + V (\phi^{(0)}_{i} \phi^{(0)}_{i} )    \nonumber \\    && ~~~~~~~~~    +  \left(    \frac{\d V }{\d \phi_i}    \right)_{\phi^{(0)}} \! \eta_i    + \frac{1}{2} \left( \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k } \right)_{\phi^{(0)}} \! \eta_i \eta_k    + \O (\eta^3 )  \Biggr]      \nonumber \\    &=&  \int d^3 x \left[    \frac{1}{2} \dot{\eta}^2 +  \frac{1}{2}(\nabla \eta )^2     + \frac{1}{2} \M_{ik} \, \eta_i \eta_k    + \O (\eta^3 ) + \mbox{(const)} \right]    \tag{14.49} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、$\M_{ik}$ は

\[    \M_{ik} = \left( \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k } \right)_{\phi^{(0)}}   \tag{14.50} \]

で定義される。式(14.49)から $\M_{ik}$ の固有値は $\eta$ モードの質量 (あるいはギャップ) を与えることが分かる。$\M_{ik}$ を用いると関係式(14.47)は

\[    \M_{ik} \, \xi^A_i \, = \, 0    \tag{14.51} \]

と書ける。ただし、$\xi^A_i $ は

\[    \xi^A_i \, = \, T^{A}_{ij} \, \phi^{(0)}_{j}   \tag{14.52} \]

で定義される。よって、(14.37)と(14.39)から $\xi^A_i$ は $\xi^a_i = 0$ と $\xi^\al_i \ne 0$ に分解できる。

\[    T^A \, = \, \left\{    \begin{array}{cl}    t^a : &    t^a \phi^{(0)} = 0 ~ \rightarrow ~ \xi^a_i = 0 \\    S^\al : &  S^\al \phi^{(0)} \ne 0 ~ \rightarrow ~ \xi^\al_i \ne 0 \\    \end{array}    \right.   \tag{14.53} \]

関係式(14.51)と合わせると、後者の場合は $\M_{ik} = 0$ を得る。すなわち、$\xi^\al_i \ne 0$ の場合に質量ゼロの $\eta$ モードが現れる。

　以上の結果は次のようにまとめられる。

自発的対称性の破れ ($S^\al \phi^{(0)} \ne 0$) に対応する生成子 $S^\al$ のそれぞれについて、ゼロ・モード（質量ゼロ、ギャップ・ゼロ）となる励起モード $\eta$ が存在する。

これは、一般的な対称性群 $G$ とその等方部分群 $H$ にも適用できるので、一般化されたゴールドストンの定理と解釈できる。

　最後に、上の議論の補完として、$S^\al$ あるいは $\xi^\al$ が線形独立であることを示す必要がある。もし $\xi^\al$ が線形従属であれば、定義から $\xi^\al V^\al = 0$ を満たすゼロでないベクトル $V^\al$ が存在する。これは $N^{\al\bt} = \xi^\al_i \xi^\bt_i$ が関係式 $N^{\al\bt} V^\bt = 0$ に従うことを意味する。よって、$N^{\al\bt}$ を行列要素と見做すと、$\det N = 0$ が成り立つ。$N^{\al\bt}$ は対称行列なので直交行列、例えば $R^{\al\bt}$ で対角化できる。対角化された行列 $\widetilde{N}^{\al\bt}$ は

\[    \widetilde{N}^{\al\bt} = (R^{-1} )^{\al \ga} N^{\ga \del} R^{\del \bt}    = \diag ( 0 , \la_2 , \la_3 , \cdots , \la_{N-1} )    \tag{14.54} \]

と表せる。ここで、$\la_2 , \la_3 , \cdots \la_{N-1} $ は（必ずしもゼロでない）固有値である。ゼロ成分 $\widetilde{N}^{11}$ は

\[    \widetilde{N}^{11} = R^{\ga 1} \xi_i^\ga \xi_i^\del R^{\del 1} = 0   \tag{14.55} \]

と書き下せる。任意の $R^{\al 1}$ でこれが成り立つので、$\xi_i^\al = 0$ と求まるが、これは(14.53)での要請 $\xi^\al_i \ne 0 $ に反する。したがって、$\det N = 0$ は許されず、背理法から $\xi^\al$ が線形独立であることが示される。