QCD 量子色力学 note16: ハドロンとレプトンの深非弾性散乱

前回のnote15の続きです。（ノートはあと3つ！）今回はQCDの発展に歴史的に重要な深非弾性散乱を取り上げる。この実験によりクォーク（ファインマンはパートンと呼んでいたらしい）の存在が実証されQCDの研究が進んだ。ここでは例として電子$e$と陽子$p$の散乱について考える。

 

上記のように運動量を指定する。散乱後の陽子の状態を$X$、その運動量を$P_X$とおく。基本的なローレンツ共役な変数は$\nu = p \cdot q$と$q^2$になる。ただし、$q = k - k'$とおく。相互作用のラグランジアンは

$$\L_{int} = e A_\mu J_\mu + e A_\mu \bar{\Psi} \ga_\mu \Psi \tag{1}$$

となる。ここで、$J_\mu$はハドロンの電磁カレント

$$J_\mu = \sum_{i} Q_i \bar{q}_i \ga_\mu q_i \tag{2}$$

であり、$i$はフレーバーの指標である。

$$\begin{eqnarray} Q_i = \frac{2}{3} &~~& \mbox{for} ~~ q_i = u , ~c,~ t \\  Q_i = - \frac{1}{3} &~~&  \mbox{for} ~~ q_i = d, ~s,~ b \end{eqnarray}$$

散乱過程の振幅は(1)より

$$\A = i e^2 \sqrt{\frac{m}{E_k V} \frac{m}{E_k' V} \frac{M}{E_p V} } \bar{u}_{k'} \ga_\mu u_k \frac{\del_{\mu\nu}}{q^2}\int \bra X | J_\nu (x) | P \ket e^{-iq x } d^4 x \tag{3}$$

とおける。$P$は(4次元)運動量演算子なので

$$J_\mu (x) = e^{iPx} J_\mu (0) e^{- iPx} \tag{4}$$

と表せる。よって、

$$\begin{eqnarray} \int d^4 x ~ \bra X | J_\mu (x) | P \ket e^{-iqx} &=& \int d^4 x~ e^{-i (p+q-P_X ) x}  \bra X | J_\mu (0) | P \ket \\ &=& (2 \pi )^4 \del (p+ q -P_X )  \bra X | J_\mu (0) | P \ket  \tag{5} \end{eqnarray}$$

となる。

フラックスが$F= 1/V$となる陽子の静止系($E_p =M$)で考える。また、状態$|X \ket$にある粒子の波動関数因子（$\sqrt{\frac{m}{E V}}$など）は省略する。というのも、それらの因子は$V \rightarrow \infty$極限でローレンツ不変な形で位相因子に組み込まれるためである。式(3), (5)から散乱断面積は

$$\begin{eqnarray}  d \si &=& \sum_{k' , P_X} \frac{|\A|^2}{\tau F} = \frac{V}{(2 \pi )^3} d^3 k' \sum_X \frac{e^4 V}{\tau } \frac{m}{E_k V}\frac{m}{E_{k'} V} \frac{1}{V} \frac{1}{q^4} \tau V (2 \pi )^4 \del (p + q - P_X ) \\ && ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\times \hf \sum_{s, s'} \left( \bar{u}_{k'}^{s} \ga_\mu u_{k}^{s'} \, \bar{u}_{k}^{s'} \ga_\nu u_{k'}^{s} \right) \hf \sum_{P: \mbox{偏極}} \bra X | J_\mu (0) | P \ket \bra P | J_\nu (0) | X \ket  \\ &=& \frac{2 \pi e^4}{q^4} \frac{m}{E_k} \frac{m}{E_{k'}} \left[ \hf \sum_{s, s'} \left( \bar{u}_{k'}^{s} \ga_\mu u_{k}^{s'} \, \bar{u}_{k}^{s'} \ga_\nu u_{k'}^{s} \right)  \right] \\ && ~~ \times \left[ \hf \sum_{P: \mbox{偏極}}\sum_X (2 \pi )^3 \del^{(4)} ( p + q -P_X ) \bra X | J_\mu (0) | P \ket \bra P | J_\nu (0) | X \ket   \right] \frac{d^3 k'}{(2 \pi )^3} \tag{6} \end{eqnarray}$$

ここで、

$$\sum_s u_k^s \bar{u}_k^s = \frac{{k \!\!\! /} + m}{2m}$$

を用いると

$$\begin{eqnarray} \frac{2 \pi e^4}{q^4} \frac{m}{E_k} \frac{m}{E_{k'}} \left[ \hf \sum_{s, s'} \left( \bar{u}_{k'}^{s} \ga_\mu u_{k}^{s'} \, \bar{u}_{k}^{s'} \ga_\nu u_{k'}^{s} \right)  \right] &=& \frac{2 \pi e^4}{q^4} \frac{m}{E_k} \frac{m}{E_{k'}} \hf \frac{1}{2m \cdot 2m} \tr \left[ ( {k' \!\!\! /} + m ) \ga_\mu ({k \!\!\! /} + m) \ga_\nu \right] \\ &\simeq& \frac{2 \pi e^4}{q^4} \frac{\big[ k_\mu {k'}_\nu +k_\nu {k'}_\mu - \del_{\mu\nu} k \cdot k'  \big]}{2 E_k E_{k'}} \end{eqnarray}$$

となる。ただし$m= m_e$は$|\vec{k}|^2$あるいは$|\vec{k'}|^2$に比べて充分小さいと仮定した。よって、散乱断面積は

$$d \si = \frac{2 \pi e^4}{q^4} \frac{\big[ k_\mu {k'}_\nu +k_\nu {k'}_\mu - \del_{\mu\nu} k \cdot k'  \big]}{2 E_k E_{k'}}  W_{\mu\nu} \frac{d^3 k'}{(2 \pi )^3} \tag{7}$$

となる。ただし、$W_{\mu\nu}$は

$$\begin{eqnarray} W_{\mu\nu} &=& \hf \sum_{P: \mbox{偏極}}\sum_X (2 \pi )^3 \del^{(4)} ( p + q -P_X ) \bra P | J_\nu (0) | X \ket \bra X | J_\mu (0) | P \ket \\ &=& \hf \sum_{P: \mbox{偏極}}\sum_X  \frac{1}{2 \pi} \int d^4 x ~ e^{-i (p+q - P_X) }  \bra P | J_\nu (0) | X \ket \bra X | J_\mu (0) | P \ket \\ &=&  \hf \sum_{P: \mbox{偏極}}\sum_X  \frac{1}{2 \pi} \int d^4 x ~ e^{-i q } \bra P | J_\nu (x) | X \ket \bra X | J_\mu (0) | P \ket \\ &=&  \hf \sum_{P: \mbox{偏極}}  \frac{1}{2 \pi} \int d^4 x ~ e^{-i q } \bra P | J_\nu (x)  J_\mu (0) | P \ket  \end{eqnarray}$$

で与えられる。これはさらに

$$W_{\mu\nu} = \hf \sum_{P: \mbox{偏極}}  \frac{1}{2 \pi} \int d^4 x ~ e^{-i q } \bra P | \big[ J_\nu (x) ,   J_\mu (0) \big] | P \ket  \tag{8}$$

と書き換えられる。交換子に出てくる余分な項 $J_\mu (0) J_\nu$ はデルタ関数 $\del^{(4)} ( P_X + q - p)$ を与えるが、これは$W_{\mu \nu}$に寄与しない。というのも、このデルタ関数は$P_{X0} = M - q_0$を意味するが、実験室系では$q_0 = E_k - E_k' > 0$なので、中間状態$| X \ket$のエネルギーは$P_{X0} = M - q_0 < M$となるが、そのような状態は散乱過程に寄与しない。（つまり、陽子が崩壊するような状態は存在しない。）よって、$q_0$が正となる状態$| X \ket$は存在しない。我々が関心を持つ現象は$q_0 \rightarrow \infty$の極限である。

カレント保存則$\d_\mu J_\mu (x) = 0$より

$$q_\mu W_{\mu \nu} = q_\nu W_{\mu \nu} = 0 \tag{9}$$

を得る。これと$W_{\mu \nu}$が運動量$p_\mu$, $q_\mu$に依存するランク２のローレンツテンソルであることから、$W_{\mu\nu}$を次のように共変的に分解できる。

$$W_{\mu \nu} = W_1 (q^2 , \nu ) \left( \del_{\mu\nu} - \frac{q_\mu q_\nu}{q^2} \right) +  W_2 (q^2 , \nu ) \left( p_{\mu} - \frac{p \cdot q}{q^2} q_\mu \right)  \left( p_{\nu} - \frac{p \cdot q}{q^2} q_\nu \right)  \tag{10}$$

ただし、$W_1$, $W_2$は冒頭に触れたように不変量$q^2$, $\nu = p \cdot q$に依存するローレンツ不変な（標的原子核の）構造関数である。以下では式(7)を変形していく。以前と同様に電子質量を無視すると

$$k^2 = k'^2 \approx 0 ~, ~~ k^2 =|\vec{k}|^2 - E_k^2 \approx 0 ~, ~~ |\vec{k}| \approx E_k$$

$$q^2 = (k- k' )^2 \approx -2 k k' = -2 \left(\big|\vec{k}\big| \big| \vec{k'} \big| \cos \th - E_k E_{k'}  \right) \approx 2 E_k E_{k'}   ( 1 - \cos \th ) = 4 E_k E_{k'} \sin^2 \frac{\th}{2}$$

$$\begin{eqnarray} \big[ k_\mu {k'}_\nu +k_\nu {k'}_\mu - \del_{\mu\nu} k \cdot k'  \big] \left( \del_{\mu\nu} - \frac{q_\mu q_\nu}{q^2} \right) &=& 2 k k' - 4 k k' - \frac{1}{q^2} ( k\cdot q \, k' \cdot q + k \cdot q \, k' \cdot q - q^2 k k' ) \\ &=& - kk' - \frac{1}{q^2} (2 k\cdot q \, k' \cdot q ) \approx -2 k k' = q^2 \end{eqnarray}$$

よって、$d \si$のうち$W_1$による寄与は

$$d \si_1 = \left( \frac{e^2}{4 \pi} \right)^2 \frac{W_1}{2 E_k^2} \frac{1}{\sin^2 \frac{\th}{2} } dE_{k'} d \Om \tag{11}$$

となる。ただし、$d^3 k' = E_{k'}^{2} d E_{k'} d \Om$を用いた。

$W_2$からの寄与は以下のように計算できる。

$$\begin{eqnarray} && \left( k_\mu {k'}_\nu +k_\nu {k'}_\mu + \frac{q^2}{2} \del_{\mu\nu}  \right)  \left( p_{\mu} - \frac{p \cdot q}{q^2} q_\mu \right)  \left( p_{\nu} - \frac{p \cdot q}{q^2} q_\nu \right) \\ &=& \left( k_\mu {k'}_\nu +k_\nu {k'}_\mu + \frac{q^2}{2} \del_{\mu\nu}  \right)  \left( p_\mu  p_\nu - \frac{p \cdot q}{q^2} ( p_\mu q_\nu + p_\nu q_\mu ) + \frac{( p \cdot q )^2 }{q^4} q_\mu q_\nu \right) \\ &=& 2 \left[ k \cdot p \, k' \cdot p - \frac{p \cdot q}{q^2}( q \cdot k \, p \cdot k' + p \cdot k \, q \cdot k' ) + \frac{(p \cdot q )^2}{q^4} k \cdot q \, k' \cdot q \right] + \frac{q^2}{2}p^2  - \frac{p \cdot q }{2} (2 p \cdot q ) + \frac{(p \cdot q)^2}{2q^2} \end{eqnarray}$$

ここで、

$$p_\mu = ( \vec{0}, i M ) ~, ~~ k\cdot p = - E_k M ~, ~~ q \cdot k = (k - k' ) \cdot k \approx - k' \cdot k ~ , ~~ p \cdot q = - M ( E_k - E_{k'} )$$

$$\begin{eqnarray} k \cdot p \, k' \cdot p &=& E_k E_{k'} M^2 \\  q \cdot k \, p \cdot k' + p \cdot k \, q \cdot k' &\approx& k \cdot k' ( E_{k'} - E_k ) M = k \cdot k' \, p \cdot q = - \frac{q^2}{2} p \cdot q \\   k \cdot q \, k' \cdot q &\approx & - k \cdot k' \, k \cdot k' = - \frac{q^4}{4} \end{eqnarray}$$

なので、

$$\begin{eqnarray} && \left( k_\mu {k'}_\nu +k_\nu {k'}_\mu + \frac{q^2}{2} \del_{\mu\nu}  \right)  \left( p_{\mu} - \frac{p \cdot q}{q^2} q_\mu \right)  \left( p_{\nu} - \frac{p \cdot q}{q^2} q_\nu \right) \\ &=&  2 \left[ E_k E_{k'} M^2 - \frac{p \cdot q}{q^2} \left( - \frac{q^2}{2} p \cdot q \right) + \frac{( p \cdot q )^2}{q^4} \left( - \frac{q^4}{4} \right)  \right] - \frac{q^2}{2} M^2 - \frac{(p \cdot q)}{2}  \\ &=& 2 E_k E_{k'} M^2 \left(1 - \sin^2 \frac{\th}{2} \right) + (p \cdot q )^2 \left( 1 - \hf -\hf \right) \\ &=& 2 E_k E_{k'} M^2  \cos^2 \frac{\th}{2} \end{eqnarray}$$

となる。よって、

$$d \si_2 = \left( \frac{e^2}{4 \pi} \right)^2 \frac{M^2 W_2}{4 E_k^2 } \frac{\cos^2 \frac{\th}{2} }{\sin^4 \frac{\th}{2} } dE_{k'} d \Om \tag{12}$$

式(11), (12)から全微分散乱断面積は

$$\frac{d \si}{ dE_{k'} d \Om } = \frac{\al^2}{4 E_k^2 \sin^4 \frac{\th}{2}} \left[ 2 W_1  \sin^2 \frac{\th}{2}  + M^2  W_2 \cos^2 \frac{\th}{2} \right] \tag{13}$$

で与えられる。ただし、$\al = \frac{e^2}{4 \pi}$である。したがって、$QCD$の基本的な問いは式(8)で表される$W_{\mu \nu}$を如何にして計算するかということになる。

我々が関心があるのは$z= \frac{q^2}{2 p \cdot q}$を一定に保ちながら$q^2$と$p \cdot q$を充分に大きくとる高エネルギー極限の現象である。これは$x^2$が極小のときの$[ J_\mu (x ) , J_\nu (0) ]$の振る舞いに注目するということを意味する。よって、式(8):

$$W_{\mu\nu} (p, q)= \hf \sum_{P: \mbox{偏極}}  \frac{1}{2 \pi} \int d^4 x ~ e^{-i q } \bra P | \big[ J_\nu (x) ,   J_\mu (0) \big] | P \ket  \tag{8}$$

を変形するのに以下の手法を用いる。

１．$[ J_\mu (x ) , J_\nu (0) ]$を演算子積展開(OPE)を使って表す。この時、$x=0$での演算子${\cal O}_i ( 0)$と$x$の関数である係数$C_i (x)$を用いる。

２．$C_i (x)$の$x$-依存性あるいは$q^2$-依存性は繰り込み群の方程式と$\bra P | {\cal O}_i ( 0) | P \ket$の$p$-依存性を用いて評価される。

３．$C_i (x)$の繰り込み群方程式に現れる積分の初期値は、少なくともいくつかの特殊な場合において、自由場の計算から固定できる。

（以下の繰り込み群方程式の部分は天下り的な記述になっています。詳細に興味ある方は繰り込み群の教科書などを参照して下さい。）

演算子積展開(OPE)

$$A (x)  B (0) = \sum_i C_i ( x, g, \mu ) \O_i (0) \tag{14}$$

ここで、$g$は結合定数、$\mu$は繰り込み点 (reference point) を表す。$n$点グリーン関数に$A, B$および$\O_i$を挿入して以下のように表すこともできる。

$$\begin{eqnarray} G_{AB}^{(n)} &=&  \bra 0 | {\rm T} \left( A(x) B (0) \prod_{k=1}^{n} \phi_k ( y_k )\right) | 0 \ket = \sum_i C_i ( x, g, \mu ) G_{\O_i}^{(n)} \\ G_{\O_i}^{(n)} &=& \bra 0 | {\rm T} \left( \O_i (0) \prod_{k=1}^{n} \phi_k ( y_k )\right) | 0 \ket \end{eqnarray}$$

$q_\mu \rightarrow \la q_\mu$とスケール変換させるとグリーン関数は繰り込み群(RG)方程式

$$\left[ \left( - \frac{\d}{\d \ln \la } + \bt (g) \frac{\d}{\d g} + \sum_k \ga_k \right) + \left( \sum_k d_k - d_A - d_B \right) \right]  G_{AB}^{(n)}  = 0$$

に従う。$d_A$, $d_B$は演算子$A$, $B$の（質量単位での）次元である。$G_{\O_i}^{(0)}$についても同様に

$$\left[  - \frac{\d}{\d \ln \la } + \bt (g) \frac{\d}{\d g} + \sum_k ( \ga_k  + d_k ) - ( \ga_{\O_i} + d_{\O_i} ) \right]  G_{\O_i}^{(n)}  = 0$$

となる。これらより

$$\left[  - \frac{\d}{\d \ln \la } + \bt (g) \frac{\d}{\d g} + ( d_A  + \ga_A )+ ( d_B  + \ga_B ) - ( \ga_{\O_i} + d_{\O_i} ) \right]  C_i  = 0  \tag{15}$$

を得る。

$A(x)$, $B(0)$の一般の場合を$[J_\mu (x ) , J_\nu (0) ]$の交換子に適用すると

$$\begin{eqnarray} [J_\mu (x ) , J_\nu (0) ] &=& \sum_{n, i} \Big[ - \del_{\mu \nu} y_{\mu_1} y_{\mu_2} \cdots y_{\mu_n} i^n C_{1, i}^{(n)} ( y^2 , g, \mu ) \\ && ~~~~~+\del_{\mu \mu_1} \del_{\nu \mu_2} y_{\mu_3} y_{\mu_4} \cdots y_{\mu_n} i^{n-2} C_{2, i}^{(n)} ( y^2 , g, \mu ) \Big] \O_{i}^{(n)\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n} (0)  \tag{16} \end{eqnarray}$$

と書ける。ここで、$\O^{(n)\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n}$は例えば

$$\O^{(n)\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n} = \frac{i^{n-1}}{2 n!}\Big[ \bar{q} (x) \ga^{\mu_1} t^a D^{\mu_2} D^{\mu_3} \cdots D^{\mu_n} q (x) + \mbox{添え字の順列} \Big]$$

と表せる。$\O^{(n)}$の次元$\dim \O^{(n)}$が共変微分のなめ添え字の数と共に増えるとすると、$C_i$のスケーリングを測る量は「ツイスト」

$$t (\O^{(n)} ) = \dim \O^{(n)} - n$$

で与えられる。

式(8)を計算するには

$$\hf \sum_{\mbox{偏極}} \bra P | \O_{i}^{(n)\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n} (0) | P \ket = A_{i}^{(n)} \left( p^{\mu_1}p^{\mu_2} \cdots p^{\mu_n} + \del^{\mu_1 \mu_2} p^2 p^{\mu_3} p^{\mu_4} \cdots p^{\mu_n} + \cdots  \right)  \tag{17}$$

が必要となる。高次の項は$x^2 \approx 0$で無視できる。式(8), (16), (17)から$W_{\mu\nu}$は

$$\begin{eqnarray} W_{\mu\nu} (p, q) &=& \sum_{n, i} \int \frac{d^4 x} {2 \pi } ~ e^{-i q \cdot x} \left[  \del_{\mu\nu} (x \cdot p)^n C_{1, n}^{(n)} (x^2 ,g ,\mu ) + p_\mu p_\nu (x \cdot p )^{n-2} C_{2, i}^{(n)} (x^2 , g, \mu ) \right] A_{i}^{(n)} \\ &=& \sum_{n, i} \bigg[ \frac{\del_{\mu\nu}}{2\pi} (p \cdot 2q )^n \left( \frac{\d}{\d q^2} \right)^n \int C_{1, n}^{(n)} (x^2 ,g ,\mu ) ~ e^{- i q \cdot x } d^4 x  \\ && ~~~~~~~~~ + \frac{1}{2 \pi} p_\mu p_\nu (2 p \cdot q )^{n-2} \left( \frac{\d}{\d q^2} \right)^{n-2} \int  C_{2, i}^{(n)} (x^2 , g, \mu )~ e^{- i q \cdot x } d^4 x  \bigg] A_{i}^{(n)} \end{eqnarray}$$

と表せる。$2 p \cdot q = q^2 /z$とおくと、

$$\begin{eqnarray} W_{\mu\nu} (p, q) &=& \sum_{n, i} \Bigg[ \frac{\del_{\mu\nu}}{2\pi} z^{-n} \left[ (q^2 )^n \left( \frac{\d}{\d q^2} \right)^n \int C_{1, n}^{(n)} (x^2 ,g ,\mu ) ~ e^{- i q \cdot x } d^4 x \right] A_{i}^{(n)}  \\ &&  ~~~~~~~~~ + \frac{p_\mu p_\nu}{2 \pi}  z^{-n+2} \left[ (q^2)^{n-2} \left( \frac{\d}{\d q^2} \right)^{n-2} \int  C_{2, i}^{(n)} (x^2 , g, \mu )~ e^{- i q \cdot x } d^4 x  \right] A_{i}^{(n)}  \Bigg]　\\ &=& \frac{1}{2 \pi} \sum_{n} \left[ \del_{\mu\nu} z^{-n} \left( \sum_i \widetilde{C}_{1, i}^{(n)} A_{i}^{(n)} \right) + \frac{ p_\mu p_\nu  \, z^{-n+1} }{2 p \cdot q} \left( \sum_i \widetilde{C}_{2, i}^{(n)} A_{i}^{(n)} \right) \right] \tag{18}\end{eqnarray}$$

となる。ただし、

$$\begin{eqnarray} \widetilde{C}_{1, i}^{(n)} &=& (q^2 )^n \left( \frac{\d}{\d q^2} \right)^n \int C_{1, n}^{(n)} (x^2 ,g ,\mu ) ~ e^{- i q \cdot x } d^4 x \\ \widetilde{C}_{2, i}^{(n)} &=& (q^2)^{n} \left( \frac{\d}{\d q^2} \right)^{n-2} \int  C_{2, i}^{(n)} (x^2 , g, \mu )~ e^{- i q \cdot x } d^4 x \end{eqnarray}$$

である。$\widetilde{C}_{1, i}^{(n)}$, $\widetilde{C}_{2, i}^{(n)}$共に $2 - t  (\O^{(n)} )$の次元を持つので、ツイストが２の演算子について対数的な$q^2$-依存性しか持たない。式(18)はさらに

$$\begin{eqnarray} W_{\mu\nu} &=& \del_{\mu\nu} W_1 + \frac{ p_\mu p_\nu }{2 p \cdot q} W_2  \\ W_1 &=& \frac{1}{2 \pi} \sum_n z^{-n} \sum_i \widetilde{C}_{1, i}^{(n)} A_{i}^{(n)} \\ W_2 &=& \frac{1}{2 \pi} \sum_n z^{-n+1} \sum_i \widetilde{C}_{2, i}^{(n)} A_{i}^{(n)} \end{eqnarray} \tag{19}$$

と書き換えられるが、これらは補正を受ける。補正項は$\del_{\mu\nu}$を$\del_{\mu\nu}- \frac{q_\mu q_\nu}{q^2} = \del_{\mu\nu} - \frac{\d_\mu \d_\nu}{\d^2}$と置き換えたり、$p_\mu$項について同様の置換をして得られる。式(19)から以下のことが分かる。

１．$W_{\mu\nu}$は高エネルギーでの近似的なスケール則を示す。これらは$z = \frac{q^2 }{ 2 p \cdot q}$の関数であり、$q^2$と$p \cdot q$に独立に依存しない。

２．$\widetilde{C}_i$は$q^2$に対して対数的に依存するのでこれらのスケール則はあくまで近似的なものである。したがって、スケール則に対する補正項は計算可能である。

もし$\widetilde{C}_i$の$q^2$-依存性が無視できる場合、クォークを自由場として扱うことに対応する。これはパートン模型近似と呼ばれる。$\widetilde{C}_i$の$q^2$-依存性は、$q^2$が大きいとき走る結合定数$\al_s (q^2)$は「小さい」ので、繰り込み群の改善された摂動論を用いて評価することが出来る。