2025-08-04

13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.9

8重項メソンと8重項バリオンの相互作用

ハドロン・スペクトルに関する最後のトピックとして、8重項メソンと8重項バリオンの相互作用を考える。ここでは、2-1散乱過程 $B + M \rightarrow {\bar B}$ に注目する。ただし、$B$, $M$ は8重項バリオンと8重項メソンをそれぞれ表す。


\[    \M_{bc} \, \equiv \,    \bra  {\bf 8}, b | M |  {\bf 8}, c \ket  \, = \,    M_0 \, \del_{bc} \, +    \bra  {\bf 8}, b | M^8 |  {\bf 8}, c \ket    \tag{13.122} \]
\[    \bra  {\bf 8}, b | M^8 |  {\bf 8}, c \ket \, = \,    {C_{8cb}^{\bf 888}}^* \, \bra {\bf 8} || M^{\bf 8} || {\bf 8} \ket    \tag{13.123} \]
\[    \M_{bc} \, = \, M_0 \, \del_{bc} \, + \, i A \, f_{bc}^{~~8} \, + \, B \, d_{bc}^{~~8}    \tag{13.142} \]
を用いると、散乱振幅 $\bra  B | M | B \ket$ は行列要素 $\bra {\bf 8}, b | M^a | {\bf 8}, c \ket$ で記述され、この行列要素は
\[\begin{eqnarray}    \bra {\bf 8}, b | M^a | {\bf 8}, c \ket    &=& C^{\bf 888}_{acb} \bra {\bf 8} || M^{\bf 8} || {\bf 8} \ket    \nonumber \\    & = & C^{\bf 888}_{acb} \, \al + C^{\bf 888}_{cab} \, \bt    \nonumber \\    &=& i \la_1 \, f_{abc} + \la_2 \, d_{abc}    \tag{13.169} \end{eqnarray}\]
とパラメータ表示できることが分かる。ただし、$a, b, c$ は8重項の添え字である。また、以前と同じく $( \al ,\bt )$ と $(\la_1 , \la_2 )$ は定数の組を表す。これより、相互作用のラグランジアンは
\[    \L_{\rm int} = i \la_1 \overline{B}^b \ga_5 B^c  M^a \, f_{abc} \, +    \la_2 \overline{B}^b \ga_5  B^c  M^a \, d_{abc}     \tag{13.170} \]
と書ける。ただし、$\gamma_5$ はディラックの $\gamma_5$ 行列である。5.4節の後半で議論したように $\gamma_5$ が必要となるのは、8重項メソンが擬スカラーであり、強い相互作用はパリティを保存するためである。5.4節ではフレーバー $SU(3)$ 対称性に基づいて8重項メソンと8重項バリオンの相互作用項を行列表示を用いて
\[    \L_{int} =  g_1 \Tr ( {\mathbf {\bar B}}\,\gamma_5\, {\mathbf B} \, {\mathbf M})    + g_2 \Tr ( {\mathbf {\bar B}}\,\gamma_5\,  {\mathbf M}\, {\mathbf B})  \tag{5.55} \]
と表した。($ {\mathbf {\bar B}}$, ${\mathbf M}$, ${\mathbf B}$ の具体的な行列表示は5.4節を参照にされたい。)

 $\overline{B}BM$ 相互作用は無数(原理的には $8^3 = 512$ 通り)存在するが、上記の相互作用(13.170)は2つのパラメータ $(\la_1 , \la_2 )$ とゼロとならない $f_{abc}$, $d_{abc}$ で表示できる。例えば、$(\bar{B}^b , B^c ) = ( \bar{p} , p )$ となる相互作用項のうちゼロとならないものは
\[\begin{eqnarray}    \L_{\bar{p} p \pi^0 } &=& - \frac{1}{2} ( \la_1  - \la_2 ) \bar{p} \ga_5 p \, \pi^0    \tag{13.171} \\    \L_{\bar{p} p \eta } &=& - \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \la_1  + \frac{1}{3} \la_2 \right) \bar{p} \ga_5 p \, \eta    \tag{13.172} \end{eqnarray}\]
で与えられる。ただし、ゼロとならない $f_{\bar{p} p a}$, $d_{\bar{p} p a}$ を求めるに際し下表を用いた。
\begin{array}{|ccc|ccccc|}        \hline        ijk &  f_{ijk} &~& ijk &  d_{ijk} &~& ijk &  d_{ijk} \\ \hline        123 & 1 &~& 118 & \frac{1}{\sqrt{3}} &~& 355 & \frac{1}{2} \\        147 & \frac{1}{2} &~& 146 & \frac{1}{2} &~& 366 & - \frac{1}{2} \\        156 & - \frac{1}{2} &~& 157 & \frac{1}{2} &~& 377 & - \frac{1}{2} \\        246 & \frac{1}{2} &~& 228 & \frac{1}{\sqrt{3}} &~& 448 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\        257 & \frac{1}{2} &~& 247 & - \frac{1}{2} &~& 558 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\        345 & \frac{1}{2} &~& 256 & \frac{1}{2} &~& 668 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\        367 & - \frac{1}{2} &~& 338 & \frac{1}{\sqrt{3}} &~& 778 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\        458 & \frac{\sqrt{3}}{2} &~& 344 & \frac{1}{2} &~& 888 & - \frac{1}{\sqrt{3}} \\        678 & \frac{\sqrt{3}}{2} &~&  &  &~& &  \\        \hline    \end{array}
\begin{array}{|ccc|cc|}        \hline        \overline{B}^a  & B^a & M^a & \psi^a & SU(3) \, 随伴表現~  {\bf 8}  \\ \hline       \overline{\Si^-} & \Si^+ & \pi^+ &  \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^1 + i \psi^2 ) & (12) \\       \overline{\Xi^-} & p & K^+ &  \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^4 + i \psi^5 ) & (13) \\        \overline{\Si^+} & \Si^- & \pi^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^1 - i \psi^2 ) & (21) \\        \overline{\Xi^0} & n & K^0 & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 + i \psi^7 ) & (23) \\     \bar{p} & \Xi^- & K^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^4 - i \psi^5 ) & (31) \\   \bar{n} & \Xi^0 & \overline{K}^0 & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 - i \psi^7 ) & (32) \\   \overline{\Si^0} & \Si^0 & \pi^0 & \psi^3 & \frac{1}{\sqrt{2}}(11) -\frac{1}{\sqrt{2}}(22) \\    \overline{\La} & \La & \eta & \psi^8 & \frac{1}{\sqrt{6}}(11) + \frac{1}{\sqrt{6}}(22) -  \frac{2}{\sqrt{6}}(33) \\ \hline    \end{array}