8重項メソンと8重項バリオンの相互作用
ハドロン・スペクトルに関する最後のトピックとして、8重項メソンと8重項バリオンの相互作用を考える。ここでは、2-1散乱過程 $B + M \rightarrow {\bar B}$ に注目する。ただし、$B$, $M$ は8重項バリオンと8重項メソンをそれぞれ表す。
8重項バリオンの質量公式に関する議論で出てきた関係式
\[ \M_{bc} \, \equiv \, \bra {\bf 8}, b | M | {\bf 8}, c \ket \, = \, M_0 \, \del_{bc} \, + \bra {\bf 8}, b | M^8 | {\bf 8}, c \ket \tag{13.122} \]
\[ \bra {\bf 8}, b | M^8 | {\bf 8}, c \ket \, = \, {C_{8cb}^{\bf 888}}^* \, \bra {\bf 8} || M^{\bf 8} || {\bf 8} \ket \tag{13.123} \]
\[ \M_{bc} \, = \, M_0 \, \del_{bc} \, + \, i A \, f_{bc}^{~~8} \, + \, B \, d_{bc}^{~~8} \tag{13.142} \]
を用いると、散乱振幅 $\bra B | M | B \ket$ は行列要素 $\bra {\bf 8}, b | M^a | {\bf 8}, c \ket$ で記述され、この行列要素は
\[\begin{eqnarray} \bra {\bf 8}, b | M^a | {\bf 8}, c \ket &=& C^{\bf 888}_{acb} \bra {\bf 8} || M^{\bf 8} || {\bf 8} \ket \nonumber \\ & = & C^{\bf 888}_{acb} \, \al + C^{\bf 888}_{cab} \, \bt \nonumber \\ &=& i \la_1 \, f_{abc} + \la_2 \, d_{abc} \tag{13.169} \end{eqnarray}\]
とパラメータ表示できることが分かる。ただし、$a, b, c$ は8重項の添え字である。また、以前と同じく $( \al ,\bt )$ と $(\la_1 , \la_2 )$ は定数の組を表す。これより、相互作用のラグランジアンは
\[ \L_{\rm int} = i \la_1 \overline{B}^b \ga_5 B^c M^a \, f_{abc} \, + \la_2 \overline{B}^b \ga_5 B^c M^a \, d_{abc} \tag{13.170} \]
と書ける。ただし、$\gamma_5$ はディラックの $\gamma_5$ 行列である。5.4節の後半で議論したように $\gamma_5$ が必要となるのは、8重項メソンが擬スカラーであり、強い相互作用はパリティを保存するためである。5.4節ではフレーバー $SU(3)$ 対称性に基づいて8重項メソンと8重項バリオンの相互作用項を行列表示を用いて
\[ \L_{int} = g_1 \Tr ( {\mathbf {\bar B}}\,\gamma_5\, {\mathbf B} \, {\mathbf M}) + g_2 \Tr ( {\mathbf {\bar B}}\,\gamma_5\, {\mathbf M}\, {\mathbf B}) \tag{5.55} \]
と表した。($ {\mathbf {\bar B}}$, ${\mathbf M}$, ${\mathbf B}$ の具体的な行列表示は5.4節を参照にされたい。)
$\overline{B}BM$ 相互作用は無数（原理的には $8^3 = 512$ 通り）存在するが、上記の相互作用(13.170)は2つのパラメータ $(\la_1 , \la_2 )$ とゼロとならない $f_{abc}$, $d_{abc}$ で表示できる。例えば、$(\bar{B}^b , B^c ) = ( \bar{p} , p )$ となる相互作用項のうちゼロとならないものは
\[\begin{eqnarray} \L_{\bar{p} p \pi^0 } &=& - \frac{1}{2} ( \la_1 - \la_2 ) \bar{p} \ga_5 p \, \pi^0 \tag{13.171} \\ \L_{\bar{p} p \eta } &=& - \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \la_1 + \frac{1}{3} \la_2 \right) \bar{p} \ga_5 p \, \eta \tag{13.172} \end{eqnarray}\]
で与えられる。ただし、ゼロとならない $f_{\bar{p} p a}$, $d_{\bar{p} p a}$ を求めるに際し下表を用いた。
\begin{array}{|ccc|ccccc|} \hline ijk & f_{ijk} &~& ijk & d_{ijk} &~& ijk & d_{ijk} \\ \hline 123 & 1 &~& 118 & \frac{1}{\sqrt{3}} &~& 355 & \frac{1}{2} \\ 147 & \frac{1}{2} &~& 146 & \frac{1}{2} &~& 366 & - \frac{1}{2} \\ 156 & - \frac{1}{2} &~& 157 & \frac{1}{2} &~& 377 & - \frac{1}{2} \\ 246 & \frac{1}{2} &~& 228 & \frac{1}{\sqrt{3}} &~& 448 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ 257 & \frac{1}{2} &~& 247 & - \frac{1}{2} &~& 558 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ 345 & \frac{1}{2} &~& 256 & \frac{1}{2} &~& 668 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ 367 & - \frac{1}{2} &~& 338 & \frac{1}{\sqrt{3}} &~& 778 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ 458 & \frac{\sqrt{3}}{2} &~& 344 & \frac{1}{2} &~& 888 & - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 678 & \frac{\sqrt{3}}{2} &~& & &~& & \\ \hline \end{array}
\begin{array}{|ccc|cc|} \hline \overline{B}^a & B^a & M^a & \psi^a & SU(3) \, 随伴表現~ {\bf 8} \\ \hline \overline{\Si^-} & \Si^+ & \pi^+ & \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^1 + i \psi^2 ) & (12) \\ \overline{\Xi^-} & p & K^+ & \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^4 + i \psi^5 ) & (13) \\ \overline{\Si^+} & \Si^- & \pi^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^1 - i \psi^2 ) & (21) \\ \overline{\Xi^0} & n & K^0 & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 + i \psi^7 ) & (23) \\ \bar{p} & \Xi^- & K^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^4 - i \psi^5 ) & (31) \\ \bar{n} & \Xi^0 & \overline{K}^0 & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 - i \psi^7 ) & (32) \\ \overline{\Si^0} & \Si^0 & \pi^0 & \psi^3 & \frac{1}{\sqrt{2}}(11) -\frac{1}{\sqrt{2}}(22) \\ \overline{\La} & \La & \eta & \psi^8 & \frac{1}{\sqrt{6}}(11) + \frac{1}{\sqrt{6}}(22) - \frac{2}{\sqrt{6}}(33) \\ \hline \end{array}
\[\begin{eqnarray} \L_{\bar{n} n \pi^0 } &=& \frac{1}{2} ( \la_1 - \la_2 ) \bar{n} \ga_5 n \, \pi^0 \tag{13.173} \\ \L_{\bar{n} n \eta } &=& - \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \la_1 + \frac{1}{3} \la_2 \right) \bar{n} \ga_5 n \, \eta \tag{13.174} \\ \L_{\bar{p} n \pi^+ } &=& - \frac{1}{\sqrt{2}} ( \la_1 - \la_2 ) \bar{p} \ga_5 n \, \pi^+ \tag{13.175} \\ \L_{\bar{n} p \pi^- } &=& - \frac{1}{\sqrt{2}} ( \la_1 - \la_2 ) \bar{n} \ga_5 p \, \pi^- \tag{13.176} \end{eqnarray}\]
で与えられる。式(13.171)-(13.176)から、係数 $\la_1$, $\la_2$ は行列表示の相互作用ラグランジアン(5.55)の係数 $g_1$, $g_2$ で
\[ \la_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} ( g_1 - g_2 ) \, , ~~~~ \la_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} ( g_1 + g_2 ) \tag{13.177} \]
と表せることが分かる。相互作用ラグランジアン(13.170)は当然ながら他の多くの $\bar{B} B M$ 散乱過程を記述する。一例として、$( \overline{\Xi}, \La , K )$ セクターの相互作用項を挙げると
\[\begin{eqnarray} \L_{\overline{\Xi^0} \La \overline{K}^0} &=& -\frac{1}{2 \sqrt{3}} \left( 3 \la_1 + \la_2 \right) \overline{\Xi^0} \ga_5 \La \, \overline{K}^0 \tag{13.178} \\ \L_{\overline{\Xi^-} \La K^-} &=& -\frac{1}{2 \sqrt{3}} \left( 3 \la_1 + \la_2 \right) \overline{\Xi^-} \ga_5 \La \, K^- \tag{13.179} \end{eqnarray}\]
となる。関係式(13.177)を用いるとこれらは行列表示のラグランジアン(5.55)と一致することが確認できる。
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