レベル３カッツ行列式の計算

2次元共形場理論で出てくるカッツ行列式の計算。2次元までは自明でどの教科書にも載っているのですが、3次元（正確にはレベル３）の場合は急に計算量が増えてややこしくなってしまいます。調べたけど出てこないので自分で計算することにしました。一般の場合の公式は既に証明されているのでレベル3の場合だけやって自分を納得させたいだけの話です。

まず、レベル3カッツ行列式は

\[ |M^{(3)} | = \left|      \begin{array}{ccc}        \bra h| L^{3}_{1}  L^{3}_{-1} | h \ket & \bra h| L^{3}_{1} L_{-1} L_{-2}| h  \ket & \bra h| L^{3}_{1} L_{-3}| h  \ket  \\       \bra h| L_{2} L_{1} L^{3}_{-1}  | h \ket  & \bra h| L_{2}L_{1} L_{-1}L_{-2} | h \ket  & \bra h| L_{2}L_{1} L_{-3} | h \ket  \\     \bra h| L_{3} L^{3}_{-1}  | h \ket  & \bra h| L_{3} L_{-1}L_{-2} | h \ket  & \bra h| L_{3} L_{-3} | h \ket  \\      \end{array}  \right|  \tag{1} \]

で与えられる。ここで、演算子 $L_{n}$ $(n \in \mathbb{Z} )$ はビラソロ代数

\[    \left[ L_m , L_n \right] \, = \, ( m - n ) L_{m+n} +    \frac{c}{12} ( m^3 - m ) \del_{m+n, 0}    \tag{2} \]

に従う。$c$ は中心電荷と呼ばれる定数である。状態 $| h \ket$ は最高ウェイト状態を表し条件式

\[   L_0 | h \ket = h | h \ket \, , ~~~~    L_n | h \ket = 0  ~~ ( n \ge 1 )   \tag{3} \]

を満たす。以上から行列の各成分を計算すると以下の結果を得る。

ノーベル平和賞に日本被団協

これはビッグニュース。ノーベル平和賞はこれまでも核廃絶の運動に対して贈られてきました。2009年のオバマ大統領（当時）、2017年のICAN（核兵器廃絶国際キャンペーン）。オバマ大統領の時は核廃絶を口約束しただけの印象でしたが、2017年ではヒバクシャという言葉が国際的に浸透する良い契機になりました。今回、長年に渡り反核平和活動を展開してきた日本の団体（日本原水爆被害者団体協議会）が受賞したのは当然の流れとは言え、驚きました。これまで日本からの核廃絶イニシアチブは国際的に影響力がなかった印象なので今後はこれを契機にもっと自信と勇気をもって反核平和のメッセージを発信し続けることが日本外交に期待されているということでしょうか。現実的には難しそうですが。

東京都美術館 田中一村 展

以前こちらで紹介した田中一村の大回顧展が東京都美術館で開催中。先日訪問しました。上野駅の公園口前の横断歩道がなくなったので公園施設へのアクセスが断然良くなりました。

東京で個展を開いて絵の決着をつけたいという一村の悲願成就。決着をつけるまでもないことは本人も分かっていたでしょうけど。でも、こうして多くの人々に素晴らしい作品が披露されることはありがたい。実物を観てただただ感動しました。途中で休憩を挟みながらマイペースで観覧。絵画作品だけでなく手紙や写真など貴重な資料、新出の作品も展示されていました。奄美大島まで行かないと再び観ることは叶わないだろうからと思い切ってカタログ購入。

解説文も丁寧で理解が深まりました。久しぶりに手元にある伝記と作品集を読み直しました。