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2024-11-08

12. リー群の幾何学的側面 vol.3

前回のエントリーではリー群についてカルタン-キリング計量を導入し、計量を定義するフレーム場が満たすモーレー-カルタン恒等式を求めた。この恒等式とトーション・ゼロの条件式との類推から、リー群をリーマン多様体と解釈できることが分かった。リー群の幾何学を考察するにあたり重要となる量はフレーム場1形式である。今回も引き続きこの視点からリー群の幾何学的な側面について考える。具体的にはリー群のコセット空間(商空間)として表せる2次元球面 S2=SU(2)/U(1) の計量を導出する。

コセット空間 S2 = SU(2)/U(1) の計量

 ここで SU(2) 群の場合に戻ると、SU(2) 群の要素の一般形は
g=11+zˉz(1zˉz1)(eiθ/200eiθ/2)
と表せる。ただし、z=x+iy は複素変数である。実際、微小な θ, |z| に対して、g は恒等行列とパウリ行列 σi で展開できる。
g(1+iθ/2x+iyx+iy1iθ/2)=1+iθ2σ3+ixσ2+iyσ1
つぎに、
g(z,θ)=v(z)h(θ)
として変数分離を考える。
v(z)=11+zˉz(1zˉz1),   h(θ)=(eiθ/200eiθ/2)
このとき、群の要素の規格化  gg=1 は vv=1 から簡単に確認できる。フレーム場1形式は
g1dg=h1(v1dv)h+h1dh
と表せる。ただし、右辺の各項は次のように計算できる。
v1dv=11+zˉz(1zˉz1)     [11+zˉz(0dzdˉz0)(1zˉz1)ˉzdz+zdˉz2(1+zˉz)3/2]=11+zˉz(zdˉzdzdˉzˉzdz)ˉzdz+zdˉz2(1+zˉz)1=11+zˉz((zdˉzˉzdz)/2dzdˉz(zdˉzˉzdz)/2)=σ12dzdˉz1+zˉz+iσ22dz+dˉz1+zˉz+σ32zdˉzˉzdz1+zˉzh1(v1dv)h=((zdˉzˉzdz)/2eiθdzeiθdˉz(zdˉzˉzdz)/2)11+zˉz=σ12eiθdzeiθdˉz1+zˉz+iσ22eiθdz+eiθdˉz1+zˉz+σ32zdˉzˉzdz1+zˉzh1dh=(i2dθ00i2dθ)=iσ32dθ

 式(12.45)-(12.47)を用いると、カルタン-キリング計量(12.44)は
ds2=2Tr(g1dgg1dg)=2Tr[(v1dv)2+2v1dvdhh1+(h1dh)2]=(dzdˉz1+zˉz)2+(dz+dˉz1+zˉz)2(zdˉzˉzdz1+zˉz)2  i2(zdˉzˉzdz1+zˉz)dθ+dθ2=4dzdˉz(1+zˉz)2(zdˉzˉzdz1+zˉz+idθ)2
と計算できる。上式の第1項は2次元球面 S2 の計量に対応する。これはフビニ-スタディ計量と呼ばれる。実際、2次元球面のステレオ射影(立体射影)による座標
x1=z+ˉz1+zˉz,   x2=izˉz1+zˉz,   x3=1zˉz1+zˉz
を用いると、これらは x21+x22+x23=1 を満たし、その計量は
ds2=dx21+dx22+dx23=4dzdˉz(1+zˉz)2
と計算できる。よって、カルタン-キリング計量(12.48)は計量レベルでコセット関係 S2=SU(2)/U(1) を明示していることが分かった。この計量は SU(2) 対称性の自発的破れの解析に有用である。この自発的対称性の破れは、物理において強磁性体スピン波の動力学を記述する。第14章ではこのような現象についてより詳しく解説する。

2024-11-07

伊吹山ドライブウェイ値上がり直前に駆け込み登山

登山道の一部閉鎖で車でしかアクセスできなくなってしまった伊吹山山頂。ドライブウェイが値上がりする直前の文化の日に遥々都内から遠征しました。8時開門と同時にゲートに到着。ただ、すでに駐車場で待機している車がいたので順番待ちをして9時前に山頂到着。広々とした駐車場です。ドライブウェイは歩行禁止とのこと。途中、側溝にタイヤがハマっている初心者マークの車があったので注意してください。駐車場から山頂までは1時間ほどで往復できます。ヤマトタケル終焉の地。ほぼ独立峰で遠くからでも目立つその山容。関東の筑波山のように昔から信仰の対象となっていたようです。伊吹山固有の高山植物も多く貴重な植生が保全されているとのこと。駐車場につくと何かのオフ会があるらしく危うく誘導に従うところでした。






2024-11-06

12. リー群の幾何学的側面 vol.2

12.2 リー群の幾何学的側面



前節ではリー群の概要について復習した。今節ではリー群を幾何学的な視点から考察する。まず、SU(2) 群について調べ、その一般化を考える。結論として、リー群は一般にリーマン多様体と解釈できることを示す。

SU(2) 群

 SU(2) 群の要素は 2×2 特殊ユニタリー行列
u=eiH,   detu=1
で与えられる。ここで、H2×2 トレースレス・エルミート行列である。一般に、H はパウリ行列を用いて
H=σi2θi    (i=1,2,3)
と表せる。よって、SU(2) 群の要素は
g(θ)=u=exp(iσi2θi)
とパラメータ表示できる。これは1.2節の(1.38)と同じである。要素 u の変分は(線形のオーダーで)次のように計算できる。
u+du=exp(iσk2(θk+dθk))=1+iσk2(θk+dθk)+i22!σk2σl2(θk+dθk)(θl+dθl)+=u+iσk2dθk+i22!(σk2σl2+σl2σk2)θkdθl+=u+iσk2dθk+iσk2θkiσl2dθl+i22[σl2,σk2]=iϵlkmσm2θkdθl+=u+(1+iσk2θk)[iσl2dθli2ϵlkmσm2θkdθl]+u+iuσm2Eml(θ)dθl
ただし、Eml(θ)
Eml(θ)δml12ϵm lkθk
と表せる。すなわち、
u1du=iσm2Eml(θ)dθl
を得る。上式は前回求めた関係式
g1dg=iTkdθk
の具体的な形を与える。リーの第1定理からexp(iσk2(θk+dθk)) の級数展開とその収束が保証されていることに注意しよう。

 前節で議論したように Eml(θ) は微分演算子 Xi=i(E1)kiθk の定義に必要な量であり、この微分演算子は対応するリー代数を成す。よって、 Eml(θ) はリー群の解析に非常に重要な量である。以下で見るように、u の行列成分から Eml(θ) を直接計算することもできる。u2×2 ユニタリー行列で表せるので
u=a1+biσi=(a+ib3ib1+b2ib1b2aib3)
とパラメータ表示できる。ただし、a, bi (i=1,2,3) は実数である。条件 detu=1 から
a2+b21+b22+b23=1
が分かる。これより、簡単に uu=1 を確認できる。ただし、u=u1=a1ibiσi である。関係式(12.21)は SU(2) 群を3次元球面 S3 と解釈できることを意味する。ここで、a=1bb を用いると、
du=da+idbσ=bdba+idbσ
と書ける。ただし、恒等行列 1 を省略した(以下同様)。このとき、u1du は次のように計算できる。
u1du=(aibσ)[bdba+idbσ]=bidbi+iadbiσi+ibibjaσidbj+bidbjσiσj=iσi[adbi+bibkadbk+ϵijkbjdbk]iσi2Eik(a,b)dbk 
ただし、関係式 σiσj=δij+iϵijkσk を用いた。これより、興味ある量 Eik(a,b)
Eik(a,b)=2(δika+bibka+ϵijkbk)
と求まる。

SU(2)群のカルタン-キリング計量

 SU(2) 群の計量はカルタン-キリング計量
ds2=2Tr(u1duu1du)
で定義される。この計量は多くのアイソメトリーを持つ。実際、そのようなアイソメトリーの集合は SU(2) 代数を成す。関係式(12.23)を用いると、カルタン-キリング計量は
ds2=2Tr(iσa2)(iσb2)EaαEbβdbαdbβ=EaαEaβdbαdbβ
と表せる。8.2節の(8.13)で議論したように曲がった多様体上の計量 ds2 はフレーム場 eaμ を用いて ds2=gμνdxμdxν=eaμeaνdxμdxν と定義される。したがって、SU(2) 群を計量(12.26)をもつ曲がった多様体とみなすと、上式は EaαSU(2) 群のフレーム場を与えることを示す。この意味で u1du はフレーム場1形式と呼べる。

一般化とモーレー-カルタン恒等式

 以上 SU(2) の場合を扱ったがこれらの結果はスムーズに一般化できる。リー群 G の要素を g(θ) とすると、G のカルタン-キリング計量 ds2 はフレーム場1形式
g1dg=itaEaα(θ)dθα
を用いて
ds2=2Tr(g1dgg1dg)=EaαEaβdθαdθβ
と定義される。ただし、ta (a=1,2,,dimG) はリー代数 G の生成子の行列表現であり、規格化 Tr(tatb)=12δab のもと、
[ta,tb]=iCabctc
を満たす。Cabc はリー代数の構造定数である。(12.27)から次の量を定義できる。
Aαg1gθα=itaEaα
パラメータ θα による Aβ の微分は
θαAβ=(g1gθαg1)gθβ+g12gθαθβ=AαAβ+g12gθαθβ
と計算できる。ただし、関係式 g1θα=g1gθαg1 を用いた。この関係式は θα(gg1)=0 から自明である。微分を反対称化させると恒等式
αAββAα+[Aα,Aβ]=0
を得る。これはモーレー-カルタン恒等式と呼ばれる。フレーム場で表すとこの恒等式は
αEaββEaαCabcEbαEcβ=0
と書ける。EbαEcβ の因子を反対称化させると、上式は
αEaββEaα12Cabc(EbαEcβEbβEcα)=0
とも表せる。

 上式の左辺は8.2節の(8.22)で定義されたトーション Taμν と類似していることに注意しよう。このトーション Taμν を書き下すと
Taμν=μeaννeaμ+ωabμebνωabνebμ
となる。ただし、ωabμ はスピン接続である。モーレー-カルタン恒等式(12.34)とトーション・ゼロの条件式 Taμν=0 には構造上の類似性がある。そこで、モーレー-カルタン恒等式(12.34)の解あるいは解釈を関係式(12.35)との比較で考えてみよう。

2024-11-02

WinEdt 11 で index 作成

長年 WinEdt を利用していますが、索引作成で戸惑ったので記録しておきます。

\usepackage{makeidx} 
\makeindex  
\printindex

で作成されるはずなのになぜか更新されません。WinShell で日本語の LaTeX を作成したときは索引も更新されていたはずなのに。LaTeX を走らせると idx ファイルは更新されるのだけど ind ファイルは古いままだったので色々試してみると、idx ファイル作成後にツールバーから 

TeX --> Make Index 

で ind ファイルが更新されました! そういえばそうだったか。完全に忘れていました。分かれば単純なことなのに1時間ぐらい Execution Modes などをいじって混乱してしまいました。今後は定期的にツールバーから make index しないとな。