コセット空間 S2 = SU(2)/U(1) の計量
ここで $SU(2)$ 群の場合に戻ると、$SU(2)$ 群の要素の一般形は
\[ g \, = \, \frac{1}{\sqrt{1 + z \bz }} \left( \begin{array}{cc} 1 & z \\ - \bz & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} e^{i \th /2} & 0 \\ 0 & e^{-i \th /2} \\ \end{array} \right) \tag{12.40}\]
と表せる。ただし、$z = x + i y$ は複素変数である。実際、微小な $\th$, $|z|$ に対して、$g$ は恒等行列とパウリ行列 $\si_i$ で展開できる。
\[ g \, \approx \, \left( \begin{array}{cc} 1 + i \th /2 & x + i y \\ - x + iy & 1 - i \th /2 \\ \end{array} \right) \, = \, {\bf 1} + i \frac{\th}{2} \si_3 + i x \si_2 + i y \si_1 \tag{12.41} \]
つぎに、
\[ g (z, \th ) = v (z) h( \th ) \tag{12.42} \]
として変数分離を考える。
\[ v (z) = \frac{1}{\sqrt{1 + z \bz }} \left( \begin{array}{cc} 1 & z \\ - \bz & 1 \\ \end{array} \right) , ~~~ h (\th ) = \left( \begin{array}{cc} e^{i \th / 2} & 0 \\ 0 & e^{-i \th / 2} \\ \end{array} \right) \tag{12.43} \]
このとき、群の要素の規格化 $g^\dagger g = 1$ は $v^\dagger v = 1$ から簡単に確認できる。フレーム場1形式は
\[ g^{-1} d g \, = \, h^{-1} ( v^{-1} d v ) h + h^{-1} d h \tag{12.44} \]
と表せる。ただし、右辺の各項は次のように計算できる。
\[\begin{eqnarray} v^{-1} d v &=& \frac{1}{\sqrt{1 + z \bz }} \left( \begin{array}{cc} 1 & -z \\ \bz & 1 \\ \end{array} \right) \nonumber \\ && ~~~~~ \cdot \left[ \frac{1}{\sqrt{1 + z \bz }} \left( \begin{array}{cc} 0 & d z \\ - d \bz & 0 \\ \end{array} \right) - \left( \begin{array}{cc} 1 & z \\ - \bz & 1 \\ \end{array} \right) \frac{\bz dz + z d \bz }{2(1 + z \bz )^{3/2}} \right] \nonumber \\ &=& \frac{1}{1+ z \bz} \left( \begin{array}{cc} z d \bz & d z \\ - d \bz & \bz d z \\ \end{array} \right) - \frac{\bz dz + z d \bz }{2(1 + z \bz )} {\bf 1} \nonumber \\ &=& \frac{1}{1+ z \bz} \left( \begin{array}{cc} (z d \bz - \bz dz )/2 & d z \\ - d \bz & - (z d \bz - \bz dz ) /2 \\ \end{array} \right) \nonumber \\ &=& \frac{\si_1}{2} \frac{d z - d \bz }{1+ z\bz} + i \frac{\si_2}{2} \frac{ d z + d \bz }{1+ z\bz} + \frac{\si_3}{2} \frac{ z d \bz - \bz dz}{1+ z\bz} \tag{12.45}\\ h^{-1} ( v^{-1} d v ) h &=& \left( \begin{array}{cc} ( z d \bz - \bz dz ) /2 & e^{-i \th} d z \\ - e^{i \th} d \bz & - ( z d \bz - \bz dz ) /2 \\ \end{array} \right) \frac{1}{1+ z \bz} \nonumber \\ &=& \frac{\si_1}{2} \frac{ e^{-i \th} d z - e^{i \th} d \bz }{1+ z\bz} + i \frac{\si_2}{2} \frac{ e^{-i \th} d z + e^{i \th} d \bz }{1+ z\bz} + \frac{\si_3}{2} \frac{ z d \bz - \bz dz}{1+ z\bz} \tag{12.46}\\ h^{-1} d h &=& \left( \begin{array}{cc} \frac{i}{2} d \th & 0 \\ 0 & - \frac{i}{2} d \th \\ \end{array} \right) = \, i \frac{\si_3}{2} d \th \tag{12.47} \end{eqnarray}\]
式(12.45)-(12.47)を用いると、カルタン-キリング計量(12.44)は
\[\begin{eqnarray} ds^2 &=& - 2 \Tr ( g^{-1} dg \, g^{-1} dg ) \nonumber \\ &=& -2 \Tr \left[ (v^{-1} d v )^2 + 2 v^{-1} dv dh h^{-1} + ( h^{-1} dh)^2 \right] \nonumber \\ &=& - \left( \frac{ dz - d \bz }{1 + z \bz} \right)^2 + \left( \frac{ dz + d \bz }{1 + z \bz} \right)^2 - \left( \frac{ z d \bz - \bz d z }{1 + z \bz} \right)^2 \nonumber \\ && ~~ - i 2 \left( \frac{ z d \bz - \bz d z }{1 + z \bz} \right) d \th + d \th^2 \nonumber \\ &=& 4 \frac{ dz d \bz}{(1+ z \bz )^2} - \left( \frac{ z d \bz - \bz d z }{1 + z \bz} + i d \th \right)^2 \tag{12.48} \end{eqnarray}\]
と計算できる。上式の第1項は2次元球面 $S^2$ の計量に対応する。これはフビニ-スタディ計量と呼ばれる。実際、2次元球面のステレオ射影(立体射影)による座標
\[ x_1 = \frac{z + \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~ x_2 = i \frac{z - \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~ x_3 = \frac{1 - z \bz }{1 + z\bz} \tag{12.49} \]
を用いると、これらは $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1$ を満たし、その計量は
\[ ds^2 \, = \, dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 \, = \, 4 \frac{ dz d \bz}{(1+ z \bz )^2} \tag{12.50} \]