12. リー群の幾何学的側面 vol.3

前回のエントリーではリー群についてカルタン-キリング計量を導入し、計量を定義するフレーム場が満たすモーレー-カルタン恒等式を求めた。この恒等式とトーション・ゼロの条件式との類推から、リー群をリーマン多様体と解釈できることが分かった。リー群の幾何学を考察するにあたり重要となる量はフレーム場１形式である。今回も引き続きこの視点からリー群の幾何学的な側面について考える。具体的にはリー群のコセット空間（商空間）として表せる2次元球面 $S^2 = SU(2) / U(1)$ の計量を導出する。

コセット空間 S² = SU(2)/U(1) の計量

　ここで $SU(2)$ 群の場合に戻ると、$SU(2)$ 群の要素の一般形は

\[    g \, = \, \frac{1}{\sqrt{1 + z \bz }}    \left(    \begin{array}{cc}                  1 & z \\    - \bz & 1 \\    \end{array}  \right)     \left(    \begin{array}{cc}   e^{i \th /2} & 0 \\   0 & e^{-i \th /2} \\   \end{array}  \right)    \tag{12.40}\]

と表せる。ただし、$z = x + i y$ は複素変数である。実際、微小な $\th$, $|z|$ に対して、$g$ は恒等行列とパウリ行列 $\si_i$ で展開できる。

\[    g \, \approx \,  \left(  \begin{array}{cc}   1 + i \th /2  & x + i y \\   - x + iy & 1 - i \th /2 \\   \end{array}  \right)    \, = \,    {\bf 1} +  i \frac{\th}{2} \si_3  + i x \si_2  + i y \si_1   \tag{12.41} \]

つぎに、

\[ g (z, \th ) = v (z) h( \th ) \tag{12.42} \]

として変数分離を考える。

\[    v (z) = \frac{1}{\sqrt{1 + z \bz }}   \left(  \begin{array}{cc}    1 & z \\  - \bz & 1 \\    \end{array}   \right) , ~~~    h (\th ) =  \left(  \begin{array}{cc}      e^{i \th / 2} & 0 \\  0 & e^{-i \th / 2} \\   \end{array} \right)    \tag{12.43} \]

このとき、群の要素の規格化  $g^\dagger g = 1$ は $v^\dagger v = 1$ から簡単に確認できる。フレーム場１形式は

\[    g^{-1} d g \, = \, h^{-1} ( v^{-1} d v ) h +  h^{-1} d h    \tag{12.44} \]

と表せる。ただし、右辺の各項は次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray}    v^{-1} d v &=&   \frac{1}{\sqrt{1 + z \bz }}  \left(            \begin{array}{cc}    1 & -z \\     \bz & 1 \\    \end{array}   \right)    \nonumber \\    && ~~~~~    \cdot  \left[   \frac{1}{\sqrt{1 + z \bz }}     \left(                \begin{array}{cc}   0 & d z \\    - d \bz & 0 \\    \end{array}  \right)   -              \left(  \begin{array}{cc}  1 & z \\  - \bz & 1 \\    \end{array}   \right)  \frac{\bz dz + z d \bz }{2(1 + z \bz )^{3/2}}    \right]    \nonumber \\    &=&    \frac{1}{1+ z \bz}  \left(  \begin{array}{cc}  z d \bz & d z \\   - d \bz & \bz d z \\            \end{array}  \right)  -  \frac{\bz dz + z d \bz }{2(1 + z \bz )}  {\bf 1}   \nonumber \\    &=&   \frac{1}{1+ z \bz}   \left(  \begin{array}{cc}                  (z d \bz - \bz dz )/2 & d z \\   - d \bz & - (z d \bz - \bz dz ) /2 \\                \end{array}  \right)   \nonumber \\    &=&    \frac{\si_1}{2}  \frac{d z -  d \bz }{1+ z\bz}  +  i \frac{\si_2}{2} \frac{ d z +  d \bz }{1+ z\bz}    +    \frac{\si_3}{2}  \frac{ z d \bz - \bz dz}{1+ z\bz}    \tag{12.45}\\    h^{-1} ( v^{-1} d v ) h    &=&    \left(  \begin{array}{cc}  ( z d \bz - \bz dz ) /2 & e^{-i \th} d z \\     - e^{i \th} d \bz & - ( z d \bz - \bz dz ) /2 \\   \end{array}    \right)     \frac{1}{1+ z \bz}    \nonumber \\    &=&    \frac{\si_1}{2} \frac{ e^{-i \th}  d z - e^{i \th} d \bz }{1+ z\bz}    +    i \frac{\si_2}{2} \frac{ e^{-i \th}  d z + e^{i \th} d \bz }{1+ z\bz}    +    \frac{\si_3}{2}  \frac{ z d \bz - \bz dz}{1+ z\bz}    \tag{12.46}\\    h^{-1} d h &=& \left(  \begin{array}{cc}    \frac{i}{2} d \th  & 0 \\   0 & - \frac{i}{2} d \th \\   \end{array}    \right) = \, i \frac{\si_3}{2} d \th     \tag{12.47} \end{eqnarray}\]

　式(12.45)-(12.47)を用いると、カルタン-キリング計量(12.44)は

\[\begin{eqnarray}    ds^2 &=& - 2 \Tr ( g^{-1} dg \, g^{-1} dg )    \nonumber \\    &=&    -2 \Tr \left[    (v^{-1} d v )^2 + 2 v^{-1} dv dh h^{-1} + ( h^{-1} dh)^2    \right]    \nonumber \\    &=&    - \left( \frac{ dz - d \bz }{1 + z \bz} \right)^2    + \left( \frac{ dz + d \bz }{1 + z \bz} \right)^2    - \left( \frac{ z d \bz - \bz d z }{1 + z \bz} \right)^2    \nonumber \\    && ~~    - i 2 \left( \frac{ z d \bz - \bz d z }{1 + z \bz} \right) d \th    + d \th^2    \nonumber \\    &=&    4 \frac{ dz d \bz}{(1+ z \bz )^2}    - \left( \frac{ z d \bz - \bz d z }{1 + z \bz} + i d \th \right)^2    \tag{12.48} \end{eqnarray}\]

と計算できる。上式の第1項は2次元球面 $S^2$ の計量に対応する。これはフビニ-スタディ計量と呼ばれる。実際、2次元球面のステレオ射影（立体射影）による座標

\[    x_1 = \frac{z + \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~    x_2 = i \frac{z - \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~    x_3 = \frac{1 - z \bz }{1 + z\bz}    \tag{12.49} \]

を用いると、これらは $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1$ を満たし、その計量は

\[ ds^2 \, = \, dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 \, = \, 4 \frac{ dz d \bz}{(1+ z \bz )^2}   \tag{12.50} \]

と計算できる。よって、カルタン-キリング計量(12.48)は計量レベルでコセット関係 $S^2 = SU(2)/U(1)$ を明示していることが分かった。この計量は $SU(2)$ 対称性の自発的破れの解析に有用である。この自発的対称性の破れは、物理において強磁性体とスピン波の動力学を記述する。第14章ではこのような現象についてより詳しく解説する。

伊吹山ドライブウェイ値上がり直前に駆け込み登山

登山道の一部閉鎖で車でしかアクセスできなくなってしまった伊吹山山頂。ドライブウェイが値上がりする直前の文化の日に遥々都内から遠征しました。8時開門と同時にゲートに到着。ただ、すでに駐車場で待機している車がいたので順番待ちをして9時前に山頂到着。広々とした駐車場です。ドライブウェイは歩行禁止とのこと。途中、側溝にタイヤがハマっている初心者マークの車があったので注意してください。駐車場から山頂までは1時間ほどで往復できます。ヤマトタケル終焉の地。ほぼ独立峰で遠くからでも目立つその山容。関東の筑波山のように昔から信仰の対象となっていたようです。伊吹山固有の高山植物も多く貴重な植生が保全されているとのこと。駐車場につくと何かのオフ会があるらしく危うく誘導に従うところでした。

12. リー群の幾何学的側面 vol.2

12.2 リー群の幾何学的側面

前節ではリー群の概要について復習した。今節ではリー群を幾何学的な視点から考察する。まず、$SU(2)$ 群について調べ、その一般化を考える。結論として、リー群は一般にリーマン多様体と解釈できることを示す。

SU(2) 群

　$SU(2)$ 群の要素は $2 \times 2$ 特殊ユニタリー行列

\[    u = e^{iH} \, ,  ~~~ {\rm det}u = 1    \tag{12.14} \]

で与えられる。ここで、$H$ は $2 \times 2$ トレースレス・エルミート行列である。一般に、$H$ はパウリ行列を用いて

\[    H = \frac{\si_i}{2} \th^i    ~~~~ (i = 1,2,3) \tag{12.15} \]

と表せる。よって、$SU(2)$ 群の要素は

\[    g ( \th ) = u = \exp \left( i \frac{\si_i}{2} \th^i \right)     \tag{12.16} \]

とパラメータ表示できる。これは1.2節の(1.38)と同じである。要素 $u$ の変分は（線形のオーダーで）次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray}    u + du &=& \exp \left( i \frac{\si_k}{2} ( \th^k + d \th^k ) \right)    \nonumber \\    &=& 1 + i \frac{\si_k}{2} ( \th^k + d \th^k )    + \frac{i^2}{2!} \frac{\si_k}{2} \frac{\si_l}{2}    ( \th^k + d \th^k )( \th^l + d \th^l ) + \cdots    \nonumber \\    &=&    u + i \frac{\si_k}{2} d \th^k + \frac{i^2}{2!}    \left(    \frac{\si_k}{2} \frac{\si_l}{2} + \frac{\si_l}{2} \frac{\si_k}{2}    \right)    \th^k d \th^l + \cdots    \nonumber \\    &=&    u + i \frac{\si_k}{2} d \th^k + i \frac{\si_k}{2} \th^k  \, i \frac{\si_l}{2} d \th^l    + \frac{i^2}{2} \underbrace{ \left[ \frac{\si_l}{2} ,    \frac{\si_k}{2} \right]}_{ = \,  i \ep_{lkm} \frac{\si_m}{2} } \th^k d \th^l    + \cdots    \nonumber \\    &=&    u + \left( 1 + i \frac{\si_k}{2} \th^k \right)    \left[    i \frac{\si_l}{2} d \th^l - \frac{i}{2} \ep_{lkm} \frac{\si_m}{2} \th^k d \th^l    \right] + \cdots    \nonumber \\    & \equiv &    u + i u \frac{\si_m}{2} E^m_l (\th ) d \th^l    \tag{12.17} \end{eqnarray}\]

ただし、$E^m_l ( \th )$ は

\[    E^m_l ( \th ) \, \simeq \, \del^m_l - \hf  \ep^{m}_{~ \, lk} \, \th^k     \tag{12.18} \]

と表せる。すなわち、

\[    u^{-1} d u   \, = \, i \frac{\si_m}{2} E^m_l (\th ) \, d \th^l     \tag{12.19} \]

を得る。上式は前回求めた関係式

\[     g^{-1} d g \, = \, i T_k d \, \th^k      \tag{12.11} \]

の具体的な形を与える。リーの第１定理から$\exp \left( i \frac{\si_k}{2} ( \th^k + d \th^k ) \right)$ の級数展開とその収束が保証されていることに注意しよう。

　前節で議論したように $E^m_l ( \th )$ は微分演算子 $X_i = i ( E^{-1} )^k_i \frac{\d}{\d \th^k}$ の定義に必要な量であり、この微分演算子は対応するリー代数を成す。よって、 $E^m_l ( \th )$ はリー群の解析に非常に重要な量である。以下で見るように、$u$ の行列成分から $E^m_l ( \th )$ を直接計算することもできる。$u$ は $2\times 2$ ユニタリー行列で表せるので

\[    u \, = \, a {\bf 1} + b_i \si_i \, = \,    \left(      \begin{array}{cc}        a+ib_3 & ib_1 + b_2 \\        ib_1 - b_2 & a - i b_3 \\      \end{array}    \right)    \tag{12.20} \]

とパラメータ表示できる。ただし、$a$, $b_i$ $(i=1,2,3)$ は実数である。条件 ${\rm det} u = 1$ から

\[    a^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 1     \tag{12.21} \]

が分かる。これより、簡単に $u^\dag u = {\bf 1}$ を確認できる。ただし、$u^\dag = u^{-1} = a {\bf 1} - i b_i \si_i$ である。関係式(12.21)は $SU(2)$ 群を3次元球面 $S^3$ と解釈できることを意味する。ここで、$a = \sqrt{ 1 - b \cdot b}$ を用いると、

\[    d u \, = \, d a + i d b \cdot \si    \, = \, - \frac{b \cdot d b}{a} + i db \cdot \si     \tag{12.22} \]

と書ける。ただし、恒等行列 ${\bf 1}$ を省略した(以下同様)。このとき、$u^{-1} d u $ は次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray}    u^{-1} d u   &=&    ( a - i b \cdot \si )    \left[ - \frac{b \cdot d b}{a} + i db \cdot \si \right]    \nonumber \\    &=&     - b_i \, d b_i + i a \, db_i \, \si_i + i \frac{b_i b_j}{a} \si_i \, d b_j     +  b_i \, db_j \,  \si_i \si_j  \nonumber \\    &=&    i \si_i \left[ a \, d b_i + \frac{b_i b_k }{a} \, d b_k + \ep_{ijk} \, b_j \,  db_k \right] \nonumber \\  &\equiv&   i \frac{\si_i}{2} E^i_k (a, b) \,  d b_k  \tag{12.23}  \end{eqnarray}\] 

ただし、関係式 $\si_i \si_j =  \del_{ij} + i \ep_{ijk} \si_k$ を用いた。これより、興味ある量 $E^i_k (a, b) $ は

\[  E^i_k (a, b) \, = \, 2 \left(   \del^i_k \, a + \frac{b^i b_k }{a} + \ep^{i}_{\, jk} \, b_k     \right) \tag{12.24} \]

と求まる。

SU(2)群のカルタン-キリング計量

　$SU(2)$ 群の計量はカルタン-キリング計量

\[    ds^2 \, = \, -2 \Tr ( u^{-1} d u \, u^{-1} du )     \tag{12.25} \]

で定義される。この計量は多くのアイソメトリーを持つ。実際、そのようなアイソメトリーの集合は $SU(2)$ 代数を成す。関係式(12.23)を用いると、カルタン-キリング計量は

\[\begin{eqnarray}    ds^2 &=& -2 \Tr \left( i \frac{\si^a}{2} \right) \left( i \frac{\si^b}{2} \right)    E^a_\al E^b_\bt \, db^\al d b^\bt    \nonumber \\    &=&    E^a_\al  E^a_\bt \, db^\al d b^\bt    \tag{12.26}  \end{eqnarray}\]

と表せる。8.2節の(8.13)で議論したように曲がった多様体上の計量 $ds^2$ はフレーム場 $e_\mu^a$ を用いて $ds^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu  = e_\mu^a e_\nu^a dx^\mu dx^\nu$ と定義される。したがって、$SU(2)$ 群を計量(12.26)をもつ曲がった多様体とみなすと、上式は $E^a_\al$ が $SU(2)$ 群のフレーム場を与えることを示す。この意味で $u^{-1} d u$ はフレーム場１形式と呼べる。

一般化とモーレー-カルタン恒等式

　以上 $SU(2)$ の場合を扱ったがこれらの結果はスムーズに一般化できる。リー群 $G$ の要素を $g ( \th )$ とすると、$G$ のカルタン-キリング計量 $ds^2$ はフレーム場１形式

\[   g^{-1} d g \, = \,  i t^a E^a_\al (\th ) \, d \th^\al     \tag{12.27} \]

を用いて

\[  ds^2 \, = \, -2 \Tr (  g^{-1} d g \, g^{-1} d g ) \, = \, E^a_\al \, E^a_\bt \, d \th^\al d \th^\bt    \tag{12.28}  \]

と定義される。ただし、$t^a$ ($a = 1,2, \cdots , {\rm dim}G$) はリー代数 G の生成子の行列表現であり、規格化 $\Tr (t^a t^b ) = \hf \del^{ab}$ のもと、

\[    \left[ t^a , t^b \right] \, = \, i C^{abc} t^c    \tag{12.29} \]

を満たす。$C^{abc}$ はリー代数の構造定数である。(12.27)から次の量を定義できる。

\[    A_\al \, \equiv \, g^{-1} \frac{\d g}{\d \th^\al} \, = \, i t^a E^a_\al     \tag{12.30} \]

パラメータ $\th^\al$ による $A_\bt$ の微分は

\[\begin{eqnarray}    \frac{\d}{\d \th^\al} A_\bt    &=& \left( -g^{-1} \frac{\d g}{\d \th^\al} g^{-1} \right) \frac{\d g}{\d \th^\bt}    + g^{-1} \frac{\d^2 g}{\d \th^\al \d \th^\bt}    \nonumber \\    &=& - A_\al A_\bt +  g^{-1} \frac{\d^2 g}{\d \th^\al \d \th^\bt}    \tag{12.31} \end{eqnarray}\]

と計算できる。ただし、関係式 $\frac{\d g^{-1}}{\d \th^\al} = - g^{-1} \frac{\d g}{\d \th^\al} g^{-1}$ を用いた。この関係式は $\frac{\d}{\d \th^\al} (g g^{-1}) = 0$ から自明である。微分を反対称化させると恒等式

\[    \d_\al A_\bt - \d_\bt A_\al + [ A_\al , A_\bt ] \, = \, 0     \tag{12.32} \]

を得る。これはモーレー-カルタン恒等式と呼ばれる。フレーム場で表すとこの恒等式は

\[    \d_\al E^a_\bt - \d_\bt E^a_\al - C^{abc} E^b_\al E^c_\bt    \, = \, 0     \tag{12.33} \]

と書ける。$E^b_\al E^c_\bt$ の因子を反対称化させると、上式は

\[    \d_\al E_\bt^a - \d_\bt E_\al^a - \hf C^{abc} \left(    E^b_\al E^c_\bt - E^b_\bt E^c_\al    \right) \, = \, 0     \tag{12.34} \]

とも表せる。

　上式の左辺は8.2節の(8.22)で定義されたトーション $T^{a}_{\mu\nu}$ と類似していることに注意しよう。このトーション $T^{a}_{\mu\nu}$ を書き下すと

\[    T^{a}_{\mu\nu} \, = \,    \d_\mu e^a_\nu - \d_\nu e^a_\mu + \om^{ab}_{\mu} e^b_\nu - \om^{ab}_{\nu} e^b_\mu    \tag{12.35} \]

となる。ただし、$\om^{ab}_{\mu}$ はスピン接続である。モーレー-カルタン恒等式(12.34)とトーション・ゼロの条件式 $T^{a}_{\mu\nu} = 0$ には構造上の類似性がある。そこで、モーレー-カルタン恒等式(12.34)の解あるいは解釈を関係式(12.35)との比較で考えてみよう。

WinEdt 11 で index 作成

長年 WinEdt を利用していますが、索引作成で戸惑ったので記録しておきます。

\usepackage{makeidx} 

\makeindex  

\printindex

で作成されるはずなのになぜか更新されません。WinShell で日本語の LaTeX を作成したときは索引も更新されていたはずなのに。LaTeX を走らせると idx ファイルは更新されるのだけど ind ファイルは古いままだったので色々試してみると、idx ファイル作成後にツールバーから 

TeX --> Make Index 

で ind ファイルが更新されました！ そういえばそうだったか。完全に忘れていました。分かれば単純なことなのに1時間ぐらい Execution Modes などをいじって混乱してしまいました。今後は定期的にツールバーから make index しないとな。