中性$K$粒子系と弱い相互作用での$CP$対称性の破れ３：ナイアの教科書から

前回のエントリーの続きです。2回に渡り長々と$K^0 \bar{K^0}$系の弱い相互作用に現れる$CP$対称性の破れについて議論してきましたが、最初のエントリーの冒頭でも触れたように「$CP$対称性の破れは理論上は存在してもおかしくない反物質がなぜ我々の世界には見られないのかを説明する有力な手掛かりとなっている」のでその点について今回は、以前こちらで紹介したナイアの最近の教科書

の該当箇所を翻訳する形で紹介したいと思います。

弱い相互作用の$CP$対称性の破れは1960年代の素粒子物理学が理論・実験共に黄金時代を迎えていたころに発見されたものですが、その頃の素粒子物理学を牽引していたジャイアンツの1人で「クォーク」という用語を命名したマレイ・ゲルマン (Murray Gell-Mann) が先月亡くなられたそうです。ゲルマンと言えば大学生のころに

読みましたが、内容は今では良く覚えていません。ゲルマンが晩年に研究していた複雑系の話が多く、ノーベル賞受賞に至った素粒子物理の話は期待していたほど載っていなかった印象があります。素粒子物理の黄金期のころの話はゲルマンが生い立ちから晩年の研究に至るまでの回想を語った貴重なインタビュー動画

のなかで様々に語られています。ストレートな語り口で面白かったです。また、ゲルマンの学生の一人で同僚でもあったスティーブン・ウルフラム（Stephen Wolfram：Mathematica, Wolfram Alphaの創始者）が個人的なエピソード交えた感動的なメッセージをこちらに公開しています。このなかでウルフラムが素粒子物理学の黄金時代（ゲルマンが八面六臂の活躍をした1960～1970年代）に成された重要な発見が人口に膾炙されていないことを嘆いています。興味深かったので原文を引用します。

At the time, it seemed to me like the most important discoveries ever were being made: fundamental facts about the fundamental particles that exist in our universe. And I think I assumed that before long everyone would know these things, just as people know that there are atoms and protons and electrons.

But I’m shocked today that almost nobody has, for example, even heard of muons --- even though we’re continually bombarded with them from cosmic rays. Talk about strangeness, or the omega-minus, and one gets blank stares. Quarks more people have heard of, though mostly because of their name, with its various uses for brands, etc.

To me it feels a bit tragic. It’s not hard to show Gell-Mann’s eightfold way pictures, and to explain how the particles in them can be made from quarks. It’s at least as easy to explain that there are 6 known types of quarks as to explain about chemical elements or DNA bases. But for some reason --- in most countries --- all these triumphs of particle physics have never made it into school science curriculums.

And as I was writing this piece, I was shocked at how thin the information on “classic” particle physics is on the web. In fact, in trying to recall some of the history, the most extensive discussion I could find was in an unpublished book I myself wrote when I was 12 years old! (Yes, full of charming spelling mistakes, and a few physics mistakes.) 

確かに物質を構成する基本粒子としてクォークとレプトンを知識として教えるのは化学元素やDNAの核酸塩基について教えるのと同じぐらい重要だと思います。現在のカリキュラムでは大学の物理学科に入らない限りクォーク模型について授業で習う機会がないのは人類の未来にとって残念なことです。ウルフラムも指摘するように今や「古典」ともいえる1960～1980年代の素粒子物理学の成果がネット上であまり共有されていないのはショッキングなことと言えるでしょう。そのような思いもあり今回の一連のエントリーでは昔のノートを取り出して$CP$対称性の破れについての復習過程をブログに公開することにしました。

最後のまとめとして以下では上述の通りナイアの教科書の議論を紹介します。標準模型の枠組みで$CP$対称性の破れを記述するにはクォークが3世代ないと説明つかないこと（小林・益川モデル）についての議論の後に続く部分（252~255ページ）の意訳です。

中性$K$粒子系と弱い相互作用での$CP$対称性の破れ２：低エネルギー有効モデルによる考察

前回のエントリーの最後に$K^0$メソンの$CP$変換が
\[
 K_{CP}^{0} = - \bar{K^0}  \, , ~~~~ \bar{K^0}_{CP} = - K^0
 \tag{1}
\]
となることをさらっと紹介しました。しかし、厳密には$K^0$メソン場（擬スカラー場）の定義に含まれる自由度から$CP$変換に起因する位相$\eta_K$が生じるため、$K_{CP}^{0} = \eta_K \bar{K^0}  \, , ~ \bar{K^0}_{CP} = \eta_K^* K^0$となる。ただし、文献では慣習的に$\eta_K =1$あるいは$\eta_K = -1$が採用される。以下では、復習もかねてナイアの教科書（基礎編の326ページ）

に沿って$K^0 = i {\bar s} \ga_5 d = i s^\dagger \ga_0 \ga_5 d$の$CP$変換を具体的に計算してみよう。フェルミオン場（スピノール）$\psi$の$CP$変換を$\widetilde{\psi}$とおくとこれは
\[
\psi ( x^0 , \vec{x} ) = C \widetilde{\psi}^* ( x^0 , - \vec{x} )
\tag{2}
\]
で定義される。ここで$C$は荷電共役行列でありガンマ行列を用いて
\[
C^{-1} \ga_\mu C = - \ga_{\mu}^{T}
\tag{3}
\]
で定義される。ガンマ行列として良く使われるもの
\[
\ga_0 =
\left(
  \begin{array}{cc}
    1&0 \\
    0&1 \\
  \end{array}
\right) \, , ~~
\ga_i =
\left(
  \begin{array}{cc}
  0& \si_i \\
  - \si_i & 0 \\
  \end{array}
\right)
\tag{4}
\]

($i = 1,2,3, ~~ \si_i$はパウリ行列)を選ぶと

\[
C = i \ga_0 \ga_2 \,  , ~~~~ C^\dagger = C^{-1} = - C
\tag{5}
\]

となる。以下では時間変化を考えないので$x^0$は省略する。また表記上の理由から$s = \psi_s$, $d = \psi_d$とする。（$s$のままだと$CP$変換が$\widetilde{s}$となってしまい、${\bar s}$と区別がつきにくいため。）$\psi_s(\vec{x}) = C \widetilde{\psi_s}^* ( - \vec{x} )$, $\psi_d (\vec{x}) = C \widetilde{\psi_d}^* ( - \vec{x} )$となるので$K^0 = i {\bar \psi_s} \ga_5 \psi_d $は次のように書き換えられる。

\begin{eqnarray}
K^0 (\vec{x}) & = & i \psi_s^\dagger (\vec{x}) \ga_0 \ga_5 \psi_d (\vec{x}) \\
&=& i \widetilde{\psi_s}^{T} (  - \vec{x} ) C^{-1} \ga_0 \ga_5 C \widetilde{\psi_d}^* (  - \vec{x} ) \\
&=& - i \widetilde{\psi_s}^{T}(  - \vec{x} ) \ga_0^T \ga_5^T \widetilde{\psi_d}^* (  - \vec{x} )  \\
&=& i \left( \widetilde{\psi_d}^\dagger \ga_5 \ga_0 \widetilde{\psi_s} \right) ( - \vec{x} ) \\
&=& - i \left( \widetilde{\psi_d}^\dagger \ga_0 \ga_5 \widetilde{\psi_s} \right) ( - \vec{x} ) \\
&=& - \bar{K^0}_{CP} ( - \vec{x} )
\tag{6}
\end{eqnarray}
ただし、上式では${\bar \psi_s} = \psi_s^\dagger \ga_0$, $\psi_s \psi_d = - \psi_d \psi_s $, $\ga_5 = i \ga_0 \ga_1 \ga_2 \ga_3$, $\ga_0 \ga_5 = - \ga_5 \ga_0$などの関係式を用いた。同様にして
\[
 \bar{K^0} (\vec{x}) = - K^{0}_{CP}  ( - \vec{x} )
\tag{7}
\]
となる。また${K^0}^* = \bar{K^0}$である。

つぎに、$K^0$, $\bar{K^0}$を場の演算子として中性$K$粒子系を直接記述する低エネルギー有効ラグランジアン
\[
{\cal L}_{eff}^{K^0 \bar{K^0}} = \d_\mu K^0 \d_\mu  \bar{K^0}
- 2 \al K^0 \bar{K^0} + \bt K^0 K^0 + \bt^* \bar{K^0} \bar{K^0}
\tag{8}
\]
を考えよう。ここで$\al$は主に強い相互作用によって決まる実係数である。これは$K^0
\bar{K^0}$の項が$s$クォークの数を保存することから予測できる。一方、ラグランジアンがエルミート共役であることから$\bt$は複素係数でありこれは主に弱い相互作用によって決まる。というのも、$K^0 K^0$, $\bar{K^0} \bar{K^0}$は$s$クォークが$|\Del s| = 2$だけ変化する過程に対応するためである。第一項$\d_\mu K^0 \d_\mu  \bar{K^0}$は運動項であり、その作用は$CP$不変である。つまり、
\[
S_{kin} (K^0 , \bar{K^0} ) = \int d^4 x \d_\mu K^0 \d_\mu  \bar{K^0} =
\int d^4 x \d_\mu \bar{K^{0}}_{CP} (- \vec{x}) \d_\mu  K_{CP}^{0} (- \vec{x}) = S_{kin} (K_{CP}^{0} , \bar{K^{0}}_{CP})
\]
となる。全項を含めた有効作用$S_{full} = \int d^4 x {\cal L}_{eff}^{K^0 \bar{K^0}}$は$(1)$あるいは$(6,7)$から
\[
S_{full} (K^0 , \bar{K^{0}} , \al , \bt ) = S_{full} (K_{CP}^{0} , \bar{K^{0}}_{CP} , \al , \bt^*  )
\]
となることがわかる。したがって、$\bt$が実数なら有効作用は$CP$不変となり、$CP$対称性の破れは$\bt$の虚部に起因する。$\al, \, \re \bt , \,  \im \bt$はそれぞれ強い相互作用、 $CP$不変な弱い相互作用、$CP$対称性を破る弱い相互作用を表すパラメータなので、これらの関係性は
\[
\al \gg  | \re \bt |  \gg   |\im \bt |
\tag{9}
\]
となると予想される。

中性$K$粒子系と弱い相互作用での$CP$対称性の破れ１：標準模型の相互作用から

前回のエントリーでKメソン（中間子）の話が出てきたので昔のノートを取り出して$K^0 \bar{K^0}$系を復習することにしました。孔子の言う「学而時習之」の境地です。中性Kメソンのクォーク構成は $d \bar{s}$ であり、こちらのリストにもあるように$K^0$は擬スカラー中間子なので
\[
 K^0 \sim \bar{s} \ga_5 d  \, , ~~~~ \bar{K^0} \sim \bar{d} \ga_5 s
 \tag{1}
\]
と置ける。ただし、$\ga_5$は4次元時空でのガンマ行列を用いて$\ga_5 \sim \ga_0 \ga_1 \ga_2 \ga_3$で与えられる。$K^0 \bar{K^0}$系は自然現象の$CP$対称性が保存されていないことが初めて実験により確認されたという点でとても重要です。この発見自体は1964年ですが、1980年にこの成果によりCroninとFitchが1980年にノーベル賞受賞しました。2000年代にはBファクトリーと呼ばれる実験施設(SLACおよびKEK)で大量の中性$B$メソン($B^0 \sim \bar{b} \ga_5 d$, $B_s^0 \sim \bar{b} \ga_5 s$)が生成され、$B^0 \bar{B^0}$系での$CP$対称性の破れが確認されました。この$CP$対称性の破れを標準模型の枠組みで説明したのが我々日本人にはなじみ深い小林・益川モデルです。（2008年ノーベル賞受賞。このときKEKでのBelle実験の成果が受賞のはずみになった旨が報道されていました。益川先生ノーベル賞記念講演の日本語原稿はこちらです。）$CP$対称性の破れは理論上は存在してもおかしくない反物質がなぜ我々の世界には見られないのかを説明する有力な手掛かりとなっているためその現象の実験的・理論的な解明は今もなお素粒子理論研究の重要な分野の1つです。実際、ごく最近にも中性Dメソン($D^0 \sim \bar{u} \ga_5 c$)の崩壊過程の観測からcharmクォークが関与するハドロンの崩壊過程における$CP$対称性の破れが初めて確認されました。（論文はこちら、その意義についての相原博昭先生による解説はこちらから。）

$CP$対称性の破れという言葉は何度も聞いたことがあっても専門家でない限りなかなかその真髄は分かりません。私も学部生の時に前述の相原先生の素粒子物理概論という講義で初めて$CP$対称性の破れについて聴いたときは、その意味がさっぱり分からず理解不能でした。物理なのだから第一原理（ラグランジアン）から考えれば分かるはずなのですが、そのラグランジアンが書き下されていないので困りました。そこで、当時書店にあった坂井典佑先生の『素粒子物理学 (物理学基礎シリーズ)』を購読してみると、そのようなラグランジアンは素粒子物理学の標準模型で与えられ、それを理解するには場の量子論でゲージ理論をマスターする必要があることを知りました。結局、大学院で場の理論を勉強してようやく$CP$対称性の破れについて理解できたような気がします。

$K^0 \bar{K^0}$の混合は$s$クォークが$| \Del s | =2$だけ変化する以下のファインマン図で表される散乱過程を評価することで解析できる。

$K^0$の崩壊に関与する相互作用は標準模型から
\[
 {\cal L}_{int} =  - \frac{g}{\sqrt{2}}
 \left( W^{+}_{\mu} \bar{U}^{i} \ga_\mu \frac{1 - \ga_5}{2} D^{j} V_{ij} +
 W^{-}_{\mu} \bar{D}^{j} \ga_\mu \frac{1 - \ga_5}{2} U^{i} V_{ij}^{*} \right)
 \tag{2}
\]
で与えられる。ここで、$U^i = (u, c, t)$, $D^i = (d, s, b)$はそれぞれ３世代クォークのペアを表し、$V_{ij}$はCKM(Cabibbo-Kobayashi-Maskawa)行列の行列要素、$g$は弱い相互作用の結合係数、$W^{\pm}$はWボソンを表す。上図の1ループ・ファインマン図で外線($d, s$とその反粒子)の運動量はWボソンの質量$M_W$や重いクォークの質量に比べて無視できるので、$| \Del s | =2$となる$K^0 \bar{K^0}$混合を記述する有効ラグランジアンは
\[
 {\cal L}_{eff}^{| \Del s | =2} = - C \, \bar{s} \ga_\mu (1 - \ga_5 ) d \, \bar{s} \ga_\mu (1 - \ga_5 ) d + h.c.
 \tag{3}
\]
となることが導出できる。その詳細については専門家による解説

を参照されたい。特にサイエンス社の教科書はこの計算の第一人者（の1人）である林(Lim)先生によるもので歴史的な経緯に沿ってとても詳しい解説がなされているので興味ある方は是非手に取ってもらいたい。上式$(3)$の係数$C$はループ運動量の積分から求められ、
\begin{eqnarray}
 C &=& {G_F}^2 \sum_{i,j} \la_i \la_j \int \frac{d^4 p}{(2 \pi)^4}
\frac{p^2  M_W^4}{(p^2 + {M_W}^2 )^2 (p^2 + {m_i}^2 )^2 (p^2 + {m_j}^2 )^2 }
\nonumber \\
&=& \frac{{G_F}^2 M_W^2 }{16 \pi^2}  \sum_{i,j} \la_i \la_j \, A_{ij}
\tag{4} \\
A_{ij} &=& \left[
\frac{1}{ 1 - x_i } + \frac{ {x_i}^2 \log x_i }{ (1 - x_i )^2 }
\right] -
\left[
\frac{1}{ 1 - x_j } + \frac{ {x_j}^2 \log x_j }{ (1 - x_j )^2 }
\right]
\tag{5}
\end{eqnarray}
と表せる。ただし、$\la_i = V_{i 1} V_{i 2}^{*}$, $x_i = \frac{m_i^2}{M_W^2}$である。$G_F$はフェルミ結合定数$G_F = \frac{\sqrt{2}}{8}\frac{g^2}{M_W^2}$である。こちらを参照するとクォークの質量（$MeV$単位）は $m_u \approx 2.4$, $m_d \approx 4.8$, $m_s \approx 104$, $m_c \approx 1270$, $m_b = 4680$, $m_t \approx 171200$で与えられ、Wボソンの質量は$M_W \approx 80400 [MeV]$なので$\frac{m_u}{M_W} \approx 0$, $\frac{m_c}{m_t} \ll 1$と近似すると
\[
C \approx \frac{{G_F}^2}{16 \pi^2} \left[
\la_2^2 m_c^2 + \la_3^2 m_t^2 + \frac{2 \la_2 \la_3 }{1 -  \left( \frac{m_c}{m_t} \right)^2 } m_c^2 \log \left( \frac{m_c}{m_t} \right)^2
\right]
\tag{6}
\]
が得られる。ただし、上で定義したように$\la_2$, $\la_3$はCKM行列要素で与えられる。
\begin{eqnarray}
\la_2 &=& V_{21} V_{22}^{*} = s_1 c_2 (c_1 c_2 c_3 - s_2 s_3  e^{-i \del})
\nonumber \\
\la_3 &=& V_{31} V_{32}^{*} = s_1 s_2 (c_1 s_2 c_3 + c_2 s_3  e^{-i \del})
\tag{7}
\end{eqnarray}

従って、位相$\del$がゼロでなければ$C$は複素数となり、このことから$K^0 {\bar K}^0$混合で$CP$対称性が破れていることが議論されるのが一般的である。