前回のエントリーの最後にK0メソンのCP変換が
K0CP=−¯K0, ¯K0CP=−K0
となることをさらっと紹介しました。しかし、厳密にはK0メソン場(擬スカラー場)の定義に含まれる自由度からCP変換に起因する位相ηKが生じるため、K0CP=ηK¯K0, ¯K0CP=η∗KK0となる。ただし、文献では慣習的にηK=1あるいはηK=−1が採用される。以下では、復習もかねてナイアの教科書(基礎編の326ページ)
K0CP=−¯K0, ¯K0CP=−K0
となることをさらっと紹介しました。しかし、厳密にはK0メソン場(擬スカラー場)の定義に含まれる自由度からCP変換に起因する位相ηKが生じるため、K0CP=ηK¯K0, ¯K0CP=η∗KK0となる。ただし、文献では慣習的にηK=1あるいはηK=−1が採用される。以下では、復習もかねてナイアの教科書(基礎編の326ページ)
に沿ってK0=iˉsγ5d=is†γ0γ5dのCP変換を具体的に計算してみよう。フェルミオン場(スピノール)ψのCP変換を˜ψとおくとこれは
ψ(x0,→x)=C˜ψ∗(x0,−→x)
で定義される。ここでCは荷電共役行列でありガンマ行列を用いて
C−1γμC=−γTμ
で定義される。ガンマ行列として良く使われるもの
γ0=(1001), γi=(0σi−σi0)
(i=1,2,3, σiはパウリ行列)を選ぶと
C=iγ0γ2, C†=C−1=−C
となる。以下では時間変化を考えないのでx0は省略する。また表記上の理由からs=ψs, d=ψdとする。(sのままだとCP変換が˜sとなってしまい、ˉsと区別がつきにくいため。)ψs(→x)=C~ψs∗(−→x), ψd(→x)=C~ψd∗(−→x)となるのでK0=iˉψsγ5ψdは次のように書き換えられる。
K0(→x)=iψ†s(→x)γ0γ5ψd(→x)=i~ψsT(−→x)C−1γ0γ5C~ψd∗(−→x)=−i~ψsT(−→x)γT0γT5~ψd∗(−→x)=i(~ψd†γ5γ0~ψs)(−→x)=−i(~ψd†γ0γ5~ψs)(−→x)=−¯K0CP(−→x)ただし、上式ではˉψs=ψ†sγ0, ψsψd=−ψdψs, γ5=iγ0γ1γ2γ3, γ0γ5=−γ5γ0などの関係式を用いた。同様にして
¯K0(→x)=−K0CP(−→x)
となる。またK0∗=¯K0である。
つぎに、K0, ¯K0を場の演算子として中性K粒子系を直接記述する低エネルギー有効ラグランジアン
LK0¯K0eff=∂μK0∂μ¯K0−2αK0¯K0+βK0K0+β∗¯K0¯K0
を考えよう。ここでαは主に強い相互作用によって決まる実係数である。これはK0¯K0の項がsクォークの数を保存することから予測できる。一方、ラグランジアンがエルミート共役であることからβは複素係数でありこれは主に弱い相互作用によって決まる。というのも、K0K0, ¯K0¯K0はsクォークが|Δs|=2だけ変化する過程に対応するためである。第一項∂μK0∂μ¯K0は運動項であり、その作用はCP不変である。つまり、
Skin(K0,¯K0)=∫d4x∂μK0∂μ¯K0=∫d4x∂μ¯K0CP(−→x)∂μK0CP(−→x)=Skin(K0CP,¯K0CP)
となる。全項を含めた有効作用Sfull=∫d4xLK0¯K0effは(1)あるいは(6,7)から
Sfull(K0,¯K0,α,β)=Sfull(K0CP,¯K0CP,α,β∗)
となることがわかる。したがって、βが実数なら有効作用はCP不変となり、CP対称性の破れはβの虚部に起因する。α,Reβ,Imβはそれぞれ強い相互作用、 CP不変な弱い相互作用、CP対称性を破る弱い相互作用を表すパラメータなので、これらの関係性は
α≫|Reβ|≫|Imβ|
となると予想される。
有効ラグランジアン(8)の質量項は
(¯K0K0)(α−β∗−βα)(K0¯K0)
と書ける。行列の固有値は
λ=α±√ββ∗
となり、対角化行列として
P=(−√β∗|β|√β∗|β|√β|β|√β|β|)
を取ることができる。ただし、|β|=√ββ∗である。対応する質量固有状態を(K1 K2)=(¯K0 K0)Pで定義すると
K1=√βK0−√β∗¯K0|β|K2=√βK0+√β∗¯K0|β|
となる。これらの状態が束縛を受けないとするとそのラグランジアンは
LK1K2eff=12∂μK1∂μK1+12∂μK2∂μK2−12λ+K1K1−12λ−K2K2
と書ける。これらの固有状態の質量差(正確には質量の2乗の差)は固有値(11)の差から生じので、Δm2=2mKΔm=2|β|で与えられる。観測によるとこの値は
Δm≃3.5×10−12MeV, mK≃497MeV
で与えられる。CP対称性の破れはβの虚部に由来するのでこの値は基本的にReβで決まることに注意されたい。そこでβ=b(1+iϵ)とおく。ただし、bは実数、ϵ≪1とする。このとき
√bK1≃(K0−¯K0)+iϵ2(K0+¯K0)√bK2≃(K0+¯K0)+iϵ2(K0−¯K0)
となる。
冒頭(1)の結果より(K0−¯K0)CP=(K0−¯K0), (K0+¯K0)CP=−(K0+¯K0)なので、CP対称性の破れがなければK1, K2状態の崩壊過程はそれぞれCP +1, −1のものに限られる。Kメソン崩壊過程の終状態はπメソンで表される。π+∼ˉdγ5u, π−∼ˉuγ5d, π0∼1√2(ˉuγ5u−ˉdγ5d)であることからπメソンのCP変換はKメソンと同様なので、πメソン2つ (π0π0, π+π−) の終状態のCP固有値は+1、πメソン3つ (π0π0π0, π+π−π0) の終状態のCP固有値は−1となると考えられる。ただし、厳密にはπ+π−π0の場合はCP固有値は(−1)I3πで与えられる。ここで、I3π=0,1,2,3はpi+π−π0系のアイソスピンであり、系の角運動量はゼロと仮定した。しかし、I3π=0,2となるのは3π系が内部軌道角運動量をもつ場合に限られるため(K0−¯K0)が3つのπメソンに崩壊することは稀であるがその可能性は否定できない。一方、(K0+¯K0)はそのCP固有値から3つのπメソンに崩壊するが、2つのπメソン崩壊できないことがわかる。したがって、K0¯K0系のCP対称性の破れはK2の質量固有状態が2つのπメソン状態に崩壊するかどうかを調べることで確認できる。このあたりの詳細については日本の教科書だけでは分かりづらいので興味ある方はLangacker先生の教科書(380ページ)
を参照にしてください。実際に上述のようなCP対称性の破れを示す崩壊過程が実験で観測されており、K2の全ての崩壊過程における2π状態への崩壊比率は
Γ(K2→π+π−)Γ(K2→anything)=2.0×10−3Γ(K2→π0π0)Γ(K2→anything)=8.7×10−4
となる。これよりK0¯K0系においてCP対称性の破れは10−3のオーダーで発生していることがわかる。なお、(14)式で定義した√bK1, √bK2は一般にはKS, KLと表記される。
最後に前回エントリーの式(2)で出てきたクォークレベルでの相互作用
Lint=−g√2(W+μˉUiγμ1−γ52DjVij+W−μˉDjγμ1−γ52UiV∗ij)
に戻って、そのCP変換を考えよう。上記(6)式と同様に
ˉUiγμ(1−γ5)DjVij=[~UiTC−1γ0γμ(1−γ5)C~Dj∗]−→xVij=[~UiTγT0γTμ(1−γ5)T~Dj∗]−→xVij=−[~Dj†(1−γ5)γμγ0~Ui]−→xVij=−[~Dj†γμγ0(1−γ5)~Ui]−→xVij={−[¯~Djγ0(1−γ5)~Ui]−→xVij (μ=0)[¯~Djγk(1−γ5)~Ui]−→xVij (μ=k=1,2,3)
と書ける。また、ディラック・ラグランジアン ˉψiγ⋅(∂−iA)ψ がCP不変であることからゲージ場のCP変換は
W+k(→x)=~Wk−(−→x), W−0(→x)=~W0−(→x)
(k=1,2,3)で与えられる。これらより(16)の1項目は(係数を除いて)
W+μˉUiγμ(1−γ5)DjVij=[~Wμ−¯~Djγμ(1−γ5)~Ui]−→xVij
となることがわかる。複素共役項との和をとるとクォークレベルのラグランジアン(16)に対応する作用Sint=∫d4xLintは
Sint(U,D,W,V)=Sint(˜U,˜D,˜W,V∗)
となることがわかる。これはV≠V∗なら作用がCP対称性を破ること示している。クォークが3世代あるときVijの全ての要素が実数であるとは限らない(小林・益川モデル)ので、式(20)の結果からK0¯K0系に現れる弱い相互作用でCP対称性が破れることが標準模型の枠組みでも保証されていることが分かった。
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