Mathematical Review 106: gravity spectral action 最近の発展

最近は特に興味ある論文が回ってこなかったので Mathematical Reviews からの依頼を断っていたのですが、さすがに３回立て続けに断るのは良くないということで久しぶりに寄稿しました。詳しくはこちらから。（106番目のレビューです。）非可換幾何学を定義する spectral triple を使って重力モデルを構築するというアラン・コンヌ達が創始した分野の最近の進展についてでした。Spectral tripleを用いた物理モデルの作用のことを一般にspectral作用と呼びます。コンヌ流の厳密な定義に基づくため数学者には扱いやすいのかもしれませんが、場の理論に慣れている物理学者にとってはすこし取っ付きにくい枠組みです。

M理論の行列模型との関連で非可換幾何学は確かに一時流行しましたが、spectral tripleを用いて（コンヌの土俵に乗って）モデル構築をする物理学者は私の知る限りほとんどいません。同じ物理モデルを扱っているはずなのですが、spectral作用の発展については数学者任せになっているのが現状です。（個人的な見解です。）参考までにコンヌ流の非可換幾何学についての入門書が日本語で読めるので興味ある方はご覧ください。

今回レビューした論文では典型的なRobertson-Walker計量をもつ宇宙モデルのspectral作用が研究対象で、その作用の漸近展開を行うと組合せ論的、代数的に深い構造が見いだせるとのことでした。量子重力の散乱振幅の計算からも重力理論にはYangian対称性や組み紐構造があることが分かっているので興味深かったです。また、上記の結果をより複雑な宇宙モデルのspectral作用に応用するとゼータ関数で表される係数や補正項が現れるとのことです。飛ばし読みしただけなので詳細はよく分かりませんでしたが、興味ある方は論文のほうをご覧ください。

毛細血管再充満時間 (Blanch test) の簡易モデル

救急医療のトリアージの際に患者さんの血液循環に問題がないか調べるテストに Blanch test というのがあります。爪を5秒間おさえて圧迫したあとに、血流が回復するまでの時間が２秒以上あると循環に問題ありとのことです。血流回復時間をCRT (Capillary refilling time:毛細血管再充満時間) とも呼ぶそうです。このCRTについて物理的な知見が知りたいとの問い合わせがあったので調べてみました。

このような現象（雨粒落下や抵抗を通過する電流など）は運動方程式を解いてモデルを作成します。血流内の分子に速度に比例する抵抗が掛かると考えると少ないパラメータでCRTを計算することが出来ます。

血管内の分子の位置：$x(t)$

血管内の分子の速度：$v(t) = \frac{\d x}{\d t} = \dot{x}$

毛細血管の定常血流速度： $v_0$

血管内の分子に働く加速度：$a$

とおくと血管内の質量$m$の分子の運動方程式は $m \ddot{x} = m a - m \la \dot{x}$ とおける。ただし、$\la$は抵抗係数。初速が $0$ で終端速度が $v_0$ なので微分方程式を解くと $\dot{x} = v_0 ( 1 - e^{-\la t})$ となり、$\la = a / v_0 ~[1/sec]$ となることが分かる。

これより血流が $r$ $\%$ 回復するまでの時間 $t_r$ は $ L t_r = log(100/(100-r))$ で与えられる。50$\%$, 80$\%$, 90$\%$のときそれぞれ $L t_{50} = log(2) = 0.693$, $L t_{80} = log(5) = 1.609$, $L t_{90} = log(10) = 2.303$ となる。CRTについて $t_{90}$ を採用することにすると $L = a / v_0$ が求まればCRTが計算できる。

まず毛細血管内の加速度 $a$ は血圧から計算できるのかもしれませんがよく分からないので、とりあえず概算で重力加速度の2倍として $a = 20 [m/s^2]$ とします。重力に逆らって血流が流れる必要があるという直感的な理由からだけですが、

https://www.jstage.jst.go.jp/article/jsmbe1963/19/7/19_7_511/_pdf

（3ページ目）によると「大動脈起始部の血流の最大加速度は平均して40～50 $m/s^2$に達する」そうなのでオーダーとしては間違ってないと思います。

次に $v_0$ について。毛細血管の定常血流速度は

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%80%E6%B5%81

によると 0.03 $cm/s$。一方、脈波伝播速度（脈圧の伝わる速度）は

http://www.kekkan-nenrei.com/image/kekkan1/manual.pdf

（10ページ目）によると 16 $m/s$ （小さい動脈）とのことで両者には大きな開きがあります。血流速度を使うと概算で $L = 6.67 \times 10^4$ 脈波伝播速度を使うと $ L = 1.25$ となる。このとき $t_{90}$ はそれぞれ 

$t_{90} = 3.45 \times 10^{-3} ~sec$ （血流速度）

$t_{90} = 1.84 ~ sec$ （脈波伝播速度）

となる。$v_0$として血流速度を使うと一瞬で血流が回復するので正常値を反映しているのでしょう。一方、脈波伝播速度の方は判断基準の2秒とオーダーが合うのでもしかしたらこちらを使った方がモデル解析には有意義かもしれません。

最後に毛細血管内の血流加速度 $a$ は血圧（高い方）に比例すると考えられるので、データを収集してこの関係性を使えば $t_{90}$ の値をより正確に予測できると期待できます。

小型二輪(AT限定)免許取得あるいは一本橋克服法

家に籠っていても諸々進展がないので原付２種（125ccスクーター）の免許を取ることにしました。教習所に行くのは1994年以来なんと26年ぶりです。思い立った先月6/23に近所の教習所に行って早速手続しました。最安値で71,100円。(追記：その後、明細を確認したところキャッシュレス還元５％で3,555円割引されていました。）新型ウイルスの影響で教習所が再開したばかりのため予約がなかなか取れず実際の教習は先週の7/6から始まりました。空き時間にせっせと６日通って今日7/17に何とか検定を終了し、その足で（というか自転車で）府中まで行って免許の追加（併記）をすることが出来ました。ふぅ～。

当初は125㏄といっても昔乗ったことのある50㏄の単車と変わらないだろうと軽く考えていましたが、一段階を終了した時点で一本橋（直線狭路、平均台とも言う）の課題の成功率が半分ぐらいだったので不安で仕方ありませんでした。というのも、卒業検定では一本橋で脱輪すると即アウト、もしアウトになったら検定のやり直しに1万円はかかるとのことでかなりプレッシャーになりました。さすがにそれだけは避けなければと、ネットで色々と調べたり教官にコツを教わって二段階の「みきわめ」ではようやく５回やって全て成功できるようになり、本番では自信を持って臨むことができました。これから原付２種の免許を取得する方の参考になるかもしれないので忘れないうちに個人的な一本橋克服法を紹介します。

まず一本橋の課題とは幅30cm長さ15m高さ５cmの平均台の上を2輪車で渡り切ることです。小型二輪の場合は5秒以上（普通、大型の場合はそれぞれ7秒以上、10秒以上）かけて渡らなければなりません。

最初の教習では教官がストップウォッチを持ってはいどうぞと言うものだから当然ゆっくり入らないといけないと思い段差に進入するとすぐにぶらついてしまい自転車のようにうまく車体を扱えずそのままあえなく脱輪というのが3回に2回起こりました。一段階の教習ではまわりに小型二輪の方がおらず、中型や大型のマニュアル車（MT車）の運転を見ていたため同じようにするとどうしても落ちてしまいます。教官からはもっと助走からスピードを出して車体を安定させるといいとアドバイスをもらったのですがなかなか実行できませんでした。ふらつかないように意識すると返って目線が下になりさらにふらつくという悪循環です。自転車では低速でバランスを取るのは苦手ではないのにバイクでは思うようにいきません。

これまで自転車ばかりに乗っていたのでスクーターの特性が全く分かっていませんでした。スクーターでの低速走行・バランスが難しい理由は主に次の３点です。