14. 自発的対称性の破れ vol.5

前回はコセット空間について解説した。今回は南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効理論のラグランジアンがコセット空間の計量テンソルを用いて表せることを示す。

南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学に関する定理

　14.3節で議論した $O(N)$ スカラー理論の有効ハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray}    \H_{\rm eff} &=&     - \frac{v^2}{2} \int d^3 x  \left(    R^{-1} \dot{R} R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}     \nonumber \\    &=&    - \frac{v^2}{2} \int d^3 x   ~ \Tr \left[    \left(   R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R   \right) W    \right]    \tag{14.68} \end{eqnarray}\]

で与えられた。 $\H_{\rm eff} = \int \ep (R ) d^3 x $ とおき、被積分関数（ハミルトニアン密度）を書き出すと

\[\begin{eqnarray}     \ep ( R ) & = & - \frac{v^2}{2} \Tr     \left(   R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R   \right) W    \nonumber \\    &=&    - \frac{v^2}{2} \left(    R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}     \tag{14.99} \end{eqnarray}\]

となる。ただし、$R$ は群 $G=O(N)$ の $N \times N$ 行列要素であり、$W$ は $N \times N$ 行列

\[  W \, = \,    \left(      \begin{array}{cccc}        0 & \cdots & 0 & 0 \\        \vdots & \ddots &   \vdots & \vdots \\        0 & \cdots & 0 & 0 \\        0 & \cdots & 0 & 1 \\      \end{array}    \right)   \tag{14.69} \]

で定義される。14.3節の(14.73)で示したように $\ep ( R )$ は条件式 $\ep ( R h ) = \ep ( R )$ を満たす。ただし、$h$ は小群（あるいは等方部分群）$H = O(N-1)$ の要素を表す。$\ep (R)$ の $W$ によりフレーム場１形式 $R^{-1} d R = i t^a E^a_i \th^i + i S^\al E^\al_\imath \th^\imath$ から $S^\al$ 部分が取り出される。ただし、添え字は $a, i = 1,2, \cdots, {\rm dim} H$ と $\al, \imath = 1,2, \cdots , {\rm dim}G - {\rm dim}H$ で指定される。これは $\ep (R )$ がコセット空間 $G/H = O(N)/O(N-1) = S^{N-1}$ 上の計量 $ds^2 = G_{\imath \jmath} ( \th ) d \th^\imath d \th^\jmath$ を用いて表せることを意味する。規格化 $\Tr ( S^\al S^\bt )  = \frac{1}{2}$ を用いると、$\ep (R )$ は

\[    \ep (R ) \, = \, \frac{v^2}{4} G_{\imath \jmath} \left( \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath + \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath \right)    \tag{14.100} \]

で与えられることが分かる。実際、より一般に、以下に示す南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学に関する定理が存在する。

連続的な対称性 $G$ が部分群 $H \subset G$ に自発的に破れる場合（$H$ は基底状態の期待値 $\bra \Om | \phi | \Om \ket$ の小群に当たる）、次の２つが成り立つ。

１．${\rm dim} G - {\rm dim} H$ 個の質量ゼロの粒子（あるいは質量ギャップがゼロの励起）が存在する。これらは南部-ゴールドストン粒子（あるいは南部-ゴールドストン・モード）と呼ばれる。

２．南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学は有効ハミルトニアン

 \[     \H_{\rm eff} \,  = \,  \frac{f^2}{2}  \int d^3 x  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    + G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right)   \tag{14.101}  \]

で与えられる。ただし、$ G_{\imath \jmath} ( \th ) d \th^\imath d \th^\jmath$ はコセット空間 $G/H$ の計量を表す。$\H_{\rm eff}$ に対応する有効ラグランジアンは\[\begin{eqnarray}      \L_{\rm eff} & = &    \frac{f^2}{2}  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    - G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right) \nonumber \\    &=&    \frac{f^2}{2}  \, G_{\imath \jmath} (\th ) \, \d_\mu \th^\imath \d_\mu \th^\jmath  \tag{14.102} \end{eqnarray}\]

と表せる。

ここで、係数 $f$ は古典的な基底状態の解、つまり元々のハミルトニアンの極小化から求まる。$O(N)$ 理論のハミルトニアン
\[ \H \, = \, \int d^3 x \left[ \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i )(\nabla \phi_i ) + \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} (\phi_i \phi_i ) \right] ~~~~~ ( \si < 0 < \la ) \tag{14.29}\]
の場合、この係数は $f = \sqrt{\frac{|\si |}{8 \la}}$ で与えられる。

例１: ハイゼンベルク強磁性体とスピン波

　この章の最初で議論したように自発的対称性の破れの簡単な例は強磁性体のハイゼンベルク模型で与えられる。この模型では転移温度 $T_c$ が存在し、この温度より低温では回転対称性の自発的な破れ $O(3)  \rightarrow  O(2)$ が起こり、ゼロでない磁化が発生する。関連するコセット空間は $O(3)/O(2) = S^2$ であり、スピン波と呼ばれる２つの南部-ゴールドストン・モードが現れる。

14. 自発的対称性の破れ vol.4

 14.4 コセット空間と低エネルギー有効理論

コンパクト・リー群 $G$ とその部分群 $H \subset G$ を考える。12.2節で議論したように、$G$ は微分可能なリーマン多様体であると見做せる。群の要素 $g \in G$ は多様体の点座標に対応する。ここで、部分群の要素 $h \in H$ として、点 $g$ を $gh$ を同等とみなす。すなわち、多様体 $G$ 上に同値性 $g \sim gh$ を課す。これにより、コセット多様体と呼ばれるより小さな多様体 $G/H$ が導かれる。$G/H$ の次元は

\[ {\rm dim} \, G/H \, = \, {\rm dim} G - {\rm dim} H  \tag{14.75} \]

で与えられる。14.2節で出た生成子（リー代数の要素）についての記号

\[    T^A \, = \, \left\{    \begin{array}{l}      t^a \, \in \underline{H}  \\      S^{\al} \in \underline{G} - \underline{H}     \end{array}    \right.    \tag{14.37} \]

を用いると、$G$ と $H$ の要素は原点 $( \th^A = 0 )$ の近傍でそれぞれ $g \approx 1 + i T^A \th^A$, $h \approx 1 - i t^a \th^a$ と表せる。よって、要素 $gh$ は $gh \approx 1 + i T^A \th^A - i t^a  \th^a$ とパラメータ表示できる。これはコセット空間の次元が ${\rm dim} ( T^A - t^a )  = {\rm dim} S^\al$ であることを示しており、(14.75)に一致する。

　$G/H$ 空間の関数は $f(gh) = f(g)$ に従う。すなわち、$G/H$ 上の関数は $H$ 変換のもとで不変な $G$ 上の関数で与えられる。13.1節で解説したように、ピーター-ワイルの定理によると、コンパクト・リー群 $G$ 上の関数は完全系を成す。これは、$G/H$ 上の関数にも当てはまる。このようなコセット空間上の関数について詳しくは、数学の表現論の分野において Harish-Chandra, Gelfand, Vilenkin, Naimark らによって研究された。

G/H 空間の計量

　コンパクト・リー群 $G$ 上のカルタン-キリング計量については12.2節で定義した。ここではまずこの計量について復習してから $G/H$ 空間上の計量を考える。群 $G$ の要素 $g$ は

\[    g ( \th ) \, = \,  \exp ( i T^A \th^A )    \tag{14.76} \]

とパラメータ表示される。ただし、$T^A$ は $G$ の生成子であり、$\th^A$ $(A = 1, 2, \cdots , {\rm dim } G )$ は連続バラメータを表す。生成子は規格化条件

\[    \Tr ( T^A T^B ) \, = \, \frac{1}{2} \del^{AB}     \tag{14.77} \]

に従う。$G$ のフレーム場１形式は

\[    g^{-1} d g  \, = \,  iT^A E^A_I ( \th ) d \th^I    \tag{14.78} \]

で定義される。ただし、$E^A_I ( \th )$ $(A, I = 1, 2, \cdots , {\rm dim } G )$ は $G$ 上のフレーム場を表す。このフレーム場はパラメータ表示(14.76)から計算できる。例えば、12.2節では $SU(2)$ 群のフレーム場は２つの異なるパラーメータ表示を用いて

\[    E^m_l ( \th ) \, \simeq \, \del^m_l - \hf  \ep^{m}_{~ \, lk} \, \th^k     \tag{12.18} \]

\[  E^i_k (a, b) \, = \, 2 \left(   \del^i_k \, a + \frac{b^i b_k }{a} + \ep^{i}_{\, jk} \, b_k     \right) \tag{12.24} \]

と求まった。$G$ 上のカルタン-キリング計量 $ds^2$ は

\[    ds^2 \, = \, -2 \Tr ( g^{-1} d g \, g^{-1} d g ) \, = \, E^A_I E^A_J  \, d \th^I d \th^J     \, = \, G_{IJ} (\th )  d \th^I d \th^J     \tag{14.79} \]

と定義される。ただし、$E_A^I$ は $G$ 上のフレーム場であり、$G_{IJ} = E^A_I E^A_J$ は $G$ 上の計量テンソル である。

　$G$ がユニタリー群である場合 (あるいはより一般に複素構造を持つとき) 、フレーム場の積は $E^{* A}_{I} E^A_J = E^{\bar{A}}_{\bar{I}} E^A_J = G_{\bar{I} J}$ と表せる。このとき、対応する$G$ 上の計量は

\[    ds^2 \, = \, E^{\bar{A}}_{\bar{I}} E^A_J  \, d \th^{\bar{I}} d \th^J    \, = \, G_{\bar{I} J} (\th ) d \th^{\bar{I}} d \th^J    \tag{14.80} \]

と書ける。

　式(14.37)に従って、生成子 $T^A$ を $t^a \in \underline{H}$ と $S^\al \in \underline{G} - \underline{H}$ に分解すると $g^{-1} d g$ は

\[    g^{-1} d g \, = \,   i t^a E^a_i d \th^i + i S^\al E^\al_\imath  d \th^\imath    \tag{14.81} \]

と表せる。規格化 $\Tr (S^\al S^\bt ) = \frac{1}{2} \del^{\al\bt}$ を用いると、フレーム場の $S^\al$ 部分は

\[    E^\al_\imath  d \th^\imath \, = \, - i 2 \Tr ( S^\al g^{-1} d g ) \, \equiv \, E^\al_\imath (g ) d \th^\imath    \tag{14.82} \]

と分離できる。ただし、$E^\al_\imath (g )d \th^\imath $ は $E^\al_\imath  d \th^\imath$ が $g^{-1} d g$ の関数であることを示す。変換 $g \rightarrow gh$  $( h \in H )$ のもとでフレーム場１形式 $g^{-1} d g$ は

\[    g^{-1} d g  \, \rightarrow \,    h^{-1} g^{-1} d ( gh ) \, = \,   h^{-1} g^{-1} d g \, h \,  + \, h^{-1} d h     \tag{14.83} \]

と変化する。このとき、$E^\al_\imath (g ) d \th^\imath$ の変換は

\[\begin{eqnarray}        E^\al_\imath ( g ) d \th^\imath  \, \rightarrow  \, E^\al_\imath ( gh ) d \th^\imath  & = & - i2 \Tr ( S^\al h^{-1} g^{-1} d g \, h )    - i2 \Tr ( S^\al  h^{-1} d h )   \nonumber \\    &=&    -i2 \, \D^{\al\bt} (h) \, \Tr ( S^\bt g^{-1} d g )    \nonumber \\    &=&    \D^{\al\bt} (h) \, E^\bt_\imath (g) d \th^\imath \tag{14.84} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、関係式 $h^{-1} d h = i t^a E^a_i d \th^i$ と $\Tr ( S^\al t^a ) = 0$ を用いた。$\D^{\al \bt} (h)$ は $S^\al$ の随伴表現を表し、 

\[    h \, S^\al \, h^{-1} \, = \, \D^{\al\bt} (h) \, S^\bt   \tag{14.85} \]

で定義される。14.2節で考えたように $H$ を直交群と仮定すると、$\D^{\al \bt}(h)$ は直交性関係

\[ \D^{\al\bt} (h) \D^{\al \ga} ( h) \, = \, \D^{\bt\al} (h^T ) \D^{\al \ga} ( h)  \, = \,  \D^{\bt \ga} (h^T h ) \, = \, \del^{\bt \ga}      \tag{14.86}  \]

を満たす。ただし、$h^T = h^{-1}$ である。よって、$G/H$ 空間上の計量は 

\[\begin{eqnarray}    d s^2 &=&    E^\al_\imath (g ) E^\al_\jmath (g) \, d \th^\imath d \th^\jmath    \nonumber \\    &=&    E^\al_\imath (gh ) E^\al_\jmath (gh ) \,d \th^\imath d \th^\jmath    \tag{14.87} \end{eqnarray}\]

と定義できる。明らかにこれは $g \rightarrow g h$ 変換のもとで不変である。

　$H$ がユニタリー群の場合、$h^\dag = (h^{*})^{T} = h^{-1}$ であるので直交性関係(14.86)は

\[    \D^{* \al\bt} (h) \D^{\al \ga} ( h) \, = \,  \D^{\bt\al} (h^\dag ) \D^{\al \ga} ( h)     \, = \, \D^{\bt \ga} (h^\dag h ) \, = \, \del^{\bt \ga}    \tag{14.88}  \]

と書き換えられることに注意しよう。このとき、$G/H$ 上の計量は

\[ ds^2 \, = \,  E^{\bar{\al}}_{\bar{\imath}} E^\al_\jmath \, d \th^{\bar{\imath}} d \th^\jmath
  \, = \, G_{\bar{\imath} \jmath} ( \th ) \, d \th^{\bar{\imath}} d \th^\jmath \tag{14.89}  \]

と表せる。これは計量(14.80)のコセット空間版に対応する。

14. 自発的対称性の破れ vol.3

 14.3 南部-ゴールドストン粒子の動力学

この節では前回に引き続き $O(N)$ 対称性の自発的破れを例に南部-ゴールドストン粒子の動力学を考える。前回と同じくハミルトニアン

\[    \H \, = \, \int d^3 x \left[   \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi )^2 + V (\phi_i \phi_i )    \right]   \tag{14.56}\]

を持つ実ベクトル場 $\phi_i$ $(i = 1,2, \cdots, N)$ の理論を採用する。ここで、ポテンシャル項は

\[    V ( \phi_i \phi_i )    \, = \,    \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} \phi_i \phi_i    ~~~~~~ ( \si < 0 < \la ) \tag{14.41} \]

で定義される。ポテンシャルの極小は

\[    \phi_i \phi_i \, = \, v^2     \tag{14.57} \]

で与えられる。ただし、$v =  \sqrt{\frac{|\si |}{4 \la}}$ である。よって、古典的な基底状態の解の1つとして

\[    \phi^{(0)} \, = \, \left( 0,  \cdots , 0, v \right)^T     \tag{14.58} \]

を選択できる。ハミルトニアンは $O(N)$ 群の変換 $\phi_i \rightarrow R_{ij} \phi_j$ のもとで不変である。ただし、$R_{ij}$ は直交関係 $R_{ij} R_{ik} = \del_{jk}$ を満たす。$R_{ij}$ は $O(N)$ 群の $N \times N$ 行列要素を表す。$\phi^{(0)}$ の等方部分群あるいは小群は $O(N-1)$ で与えられる。$R_{ij} \phi^{(0)}_{j} = \phi^{(0)}_{i}$ を満たす全ての $R_{ij}$ の集合に注目すると、そのような $R_{ij}$ の自由度は ${\rm dim} \left[ O(N) \right] - {\rm dim} \left[ O(N-1) \right] = N-1$ である。前節で議論したように、各自由度について南部-ゴールドストン粒子（あるいは南部-ゴールドストン・モード）が存在する。

　前節では実ベクトル場 $\phi_i = \phi^{(0)}_{i} + \eta_i$ をハミルトニアン(14.56)に代入して、南部-ゴールドストン・モードの動力学を $O(N)$ 群の生成子を用いて議論した。しかし、今節では先ず $\phi^{(0)}$ のゼロでない成分のみの摂動を考える。

\[    \chi \, = \,   ( 0 , \cdots , 0 , v + \rho (x) )^T     \tag{14.59} \]

ただし、$\rho (x)$ は実スカラー場である。そして $\chi_i$ の $O(N)$ 変換を古典的な基底状態 $\phi^{(0)}$ の周りの揺らぎと見做す。つまり、

\[    \phi_i \,  = \, R_{ij} (x) \, \chi_j     \tag{14.60}  \]

とおく。ただし、$R_{ij} (x)$ は時空間座標に依存する $O(N)$ 群の要素である。$\chi$ の小群も $O(N-1)$ なので、$R_{ij} (x)$ のうち独立な場の数は $N-1$ である。$\rho ( x)$ も含めると(14.60)の揺らぎの場 $\phi_i$ $(i = 1,2, \cdots ,N)$ は確かに $N$ 個の実スカラー場で記述されることが分かる。このパラメータ表示を用いると $O(N)$ 群の生成子を持ち出さなくても $N-1$ 個の南部-ゴールドストン粒子を記述できることに注意しよう。

　つぎに、(14.60)の揺らぎの場 $\phi_i$ をハミルトニアン(14.56)に代入する。$\phi_i$ は列ベクトルであるので、その2乗は

\[    \phi_i \phi_i \, = \, ( R_{ij} \chi_j )^T \, R_{ik} \chi_k \, = \,     \chi_j^T ( R^T R )_{jk} \chi_k \, = \, ( v + \rho )^2    \tag{14.61}  \]

と計算できる。ただし、直交関係 $( R^T R )_{jk} = \del_{jk}$ と $\chi_i = \del_{iN} (v + \rho )$ を用いた。これはポテンシャル項 $V ( \phi_i \phi_i )$ が $R_{ij} (x)$ に依らないことを示す。$\dot{\phi} = \dot{R} \chi + R \dot{\chi}  =  R ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )$ の2乗は次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray}    \dot{\phi}^2 &=&     ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )^T R^T R \, ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )    \nonumber \\    &=&    ( \chi^T ( R^{-1} \dot{R} )^T + \dot{\chi}^T ) ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )    \nonumber \\    &=&        \chi^{T} ( R^{-1} \dot{R} )^{T} R^{-1} \dot{R}  \chi  +  \chi^{T}  R^{-1} \dot{R}  \dot{\chi}    + \dot{\chi}^T  R^{-1} \dot{R}  \chi   +    \dot{\chi}^T \dot{\chi}    \nonumber \\    &=&    \chi^{T} ( R^{-1} \dot{R} )^{T} R^{-1} \dot{R}  \chi  + 2 \dot{\rho} (v+ \rho ) (R^{-1} \dot{R} )_{\! N \! N} + \dot{\rho}^2   \tag{14.62} \end{eqnarray}\]

ただし、$ R^T R  = {\bf 1}$ と $\dot{\chi}_i = \del_{i  N} \, \dot{\rho}$ を用いた。ここで、$R^{-1} \dot{R}$ の反対称性関係

\[    (R^{-1} \dot{R})^T \, = \, \dot{R}^T R^{-1 \, T}    \, = \, \dot{R}^{-1} R \, = \, - R^{-1} \dot{R}   \tag{14.63} \]

に注意する。これより明らかに $(R^{-1} \dot{R} )_{\! N \! N} = 0$ である。よって、$\dot{\phi}^2 $ は

\[    \dot{\phi}^2 \, = \, - \chi^{T} ( R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R} )  \chi  + \dot{\rho}^2   \tag{14.64} \]

と表せる。同様に、$ ( \nabla \phi )^2 $ は

\[    ( \nabla \phi )^2 \, = \, - \chi^{T} \left( R^{-1} \nabla R ~  R^{-1} \nabla R \right)  \chi  + ( \nabla \rho )^2   \tag{14.65} \]

と計算できる。したがって、(14.60)を(14.56)に代入するとハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray}    \H    &=&     \int d^3 x    \left( \frac{1}{2}\dot{\rho}^2  + \frac{1}{2} ( \nabla \rho )^2  + V ( (v + \rho )^2 ) \right.    \nonumber \\    &&    ~~~   \left.  -  \frac{1}{2} \chi^T ( R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R} ) \chi    -  \frac{1}{2} \chi^T ( R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R ) \chi \right)    \tag{14.66} \end{eqnarray}\]

と表せる。ポテンシャル項 $V$ は実スカラー場 $\rho (x)$ の汎関数であり、一般にこれは $\rho (x)$ の質量項を与える。一方、$R (x)$ は質量項をもたず、$(N-1)$ 個の南部-ゴールドストン粒子を表す。これらの南部-ゴールドストン粒子の動力学はハミルトニアン(14.66)の $R$ 部分

\[\begin{eqnarray}     \H_{R}  &= & - \frac{1}{2} \int d^3 x    ~ \chi^T \left(    R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R \right) \chi    \nonumber \\    &=& - \frac{1}{2} \int d^3 x ~ ( v + \rho )^2 \left(    R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}  \tag{14.67}  \end{eqnarray}\]

で与えられる。ただし、$\chi$ の具体的なパラメータ表示(14.59)を用いた。$\rho$ の質量が無限小となる低エネルギー・スケールでは $\rho$ と $R$ の相互作用項を含む $\rho$ に依存する項は無視できる。よって、南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効理論はハミルトニアン

\[\begin{eqnarray}    \H_{\rm eff} &=&     - \frac{v^2}{2} \int d^3 x  \left(    R^{-1} \dot{R} R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}     \nonumber \\    &=&    - \frac{v^2}{2} \int d^3 x   ~ \Tr \left[    \left(   R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R   \right) W    \right]    \tag{14.68} \end{eqnarray}\]

で記述される。ただし、$R$ は $O(N)$ 群の $N \times N$ 行列要素を表し、$W$ は $N \times N$ 行列

\[  W \, = \,    \left(      \begin{array}{cccc}        0 & \cdots & 0 & 0 \\        \vdots & \ddots &   \vdots & \vdots \\        0 & \cdots & 0 & 0 \\        0 & \cdots & 0 & 1 \\      \end{array}    \right)   \tag{14.69} \]

で与えられる。

　$\rho$ に関する項を無視するのは古典的には正しいが、量子論では一般的に正しくない。例えば、たとえ低エネルギー近似であっても質量を持つ $\rho$ 粒子による真空の揺らぎを無視できない。このような量子補正は基底状態の期待値 $v$ を再定義する（繰り込む）ことで対応できる。実際、南部-ゴールドストン粒子の動力学に関して次の定理が存在する。

式(14.68)のハミルトニアン $\H_{\rm eff}$ は、全ての量子論的な相互作用も含めた低エネルギー有効ハミルトニアンである。

（この定理の証明には量子論における相関関数の広域対称性を記述するウォード-高橋恒等式が用いられる。）

日航123便の話

 以前にこちらで触れましたが、物理学者による興味深い話があったので動画だけ紹介。（いつ消されるか分かりませんが。）

いままで見聞した中では一番説得力がありました。さすがに圧力隔壁の破損だけではないだろうし、自衛隊が証拠隠滅したとかもおかしいと思っていたのでなんとなくスッキリしました。真相は永遠に明かされないのでしょうか。

14. 自発的対称性の破れ vol.2

 14.2 ゴールドストンの定理

ゴールドストンの定理は以下の通り。

連続的な大域的対称性が自発的に破れると、運動量がゼロの極限 $( |\vec{p}| \rightarrow 0 )$ でエネルギーがゼロ $( \om_p \rightarrow 0 )$ となる状態が存在する。

相対論ではこの状態は質量ゼロの粒子に対応し、スピン-0 のスカラー粒子を記述する。この粒子は南部-ゴールドストン粒子と呼ばれる。ゴールドストンの定理は非相対論的な理論にも適用され、その場合、上記の状態は南部-ゴールドストン・モードと呼ばれる場の励起に対応する。南部-ゴールドストン粒子の動力学は群論の性質だけから導出できる。以下の節では、自発的対称性の破れの例を用いてゴールドストンの定理がどのように適用されるかを考える。

複素スカラー場

　まず、前回に引き続きハミルトニアン

\[    \H \, = \, \int d^3 x    \left[    | \dot{\phi} |^2 + |\nabla \phi |^2 + \la    \left(    |\phi |^2  - \frac{|\si |}{2 \la}    \right)^2    - \frac{|\si |^2}{4 \la}    \right]    ~~~~~ ( \si< 0 < \la )    \tag{14.14} \]

を持つ複素スカラー場 $\phi$ を取り上げる。$\phi$ の励起は

\[    \phi \, = \, \sqrt{\frac{|\si |}{2 \la}} \, e^{i \al}  + \, \eta ~    \tag{14.23} \]

と表せる。ただし、$\eta$ は $\bra \Om | \eta | \Om \ket = 0$ に従う複素スカラー場である。別のパラメータ表示を使うと $\phi$ は

\[    \phi (x) \, = \, e^{i \chi (x)} \left(    \sqrt{\frac{|\si |}{2 \la}} e^{i \al} + \rho (x)    \right)    \tag{14.24} \]

とも書ける。ただし、$\chi$ と $\rho$ は実スカラー場である。$\chi$ と $\rho$ の1次のオーダーで $\phi$ は

\[    \phi \, \approx \, \phi_0 + i \chi \phi_0 + \rho + \cdots    \tag{14.25} \]

と表せる。ただし、$\phi_0 = \sqrt{\frac{|\si |}{2 \la}} e^{i \al}$ である。条件式 $\bra \Om | \eta | \Om \ket = 0$ は1次のオーダーで $\bra \Om | \chi | \Om \ket = \bra \Om | \rho | \Om \ket = 0$ と置き換えられる。パラメータ表示(14.24)から $\dot{\phi}$ と $\nabla \phi$ は

\[\begin{eqnarray}    \dot{\phi} &=& e^{i \chi} \left[    \dot{\rho} + i \dot{\chi} ( \phi_0 + \rho )    \right]   \tag{14.26}\\    \nabla \phi &=& e^{i \chi} \left[    \nabla \rho + i \nabla \chi ( \phi_0 + \rho )    \right]     \tag{14.27} \end{eqnarray}\]

と計算できる。これより、ハミルトニアン(14.14)は

\[\begin{eqnarray}    \H &=& \int d^3 x \Biggl[    \dot{\rho}^2 + \dot{\chi}^2 | \phi_0 +\rho |^2    + (\nabla \rho )^2 + (\nabla \chi )^2 | \phi_0 +\rho |^2    \nonumber \\    &&    \hspace{4.5cm}    + \,  \la \left(  | \phi_0 + \rho |^2 - \frac{|\si |}{2\la}  \right)^2    - \frac{|\si |^2}{4 \la}    \Biggr]    \nonumber \\    &=&    \int d^3 x \Biggl[    \dot{\rho}^2 + ( \nabla \rho )^2 + m^2 \rho^2  + | \phi_0 |^2 ( \dot{\chi}^2 + (\nabla \chi )^2 )        + \O( \rho^3 )   -\la |\phi_0 |^4    \Biggr]    \tag{14.28} \end{eqnarray}\]

と書ける。ただし、$| \phi_0 + \rho |^2 = (\phi_0 + \rho )(\phi_0^* + \rho )$, $m^2 = \la (\phi_0 + \phi_0^* )^2 = 4 \la ( {\rm Re} \, \phi_0 )^2$ である。$\rho$ について3次以上の項 $\O (\rho^3 )$ を摂動的に扱うと $\rho$ は質量 $m > 0$ の粒子を表し、$\chi$ は質量ゼロの粒子を表すことが分かる。分散関係はそれぞれ $\om_p = \sqrt{p^2 + m^2}$, $\om_p = \sqrt{p^2}$ で与えられる。

　ハミルトニアン(14.28)のポテンシャル項は $\O(\rho^3 )$ と定数で与えられ、$\chi$ に依らない。これは、励起モードが $\rho$ ではなく $\chi$ で与えられることを意味する。よって、$U(1)$ 対称性 $\phi \rightarrow e^{i \th} \phi$ の自発的な破れの自然な帰着として質量ゼロ粒子が現れることが分かる。この励起モードは南部-ゴールドストン・モードと呼ばれる。また、ハミルトニアン(14.28)から $\chi$ の適当な規格化は $\chi \rightarrow | \phi_0 |^{-1} \chi$ で与えられることが分かる。ただし、$|\phi_0 | = \sqrt{\frac{| \si | }{2\la}} $ である。

O(N) 対称性の自発的破れ

　つぎに自発的対称性の破れのもう１つの例を考える。ハミルトニアン

\[    \H \, = \,    \int d^3 x \left[    \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i  )(\nabla \phi_i  )    + \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} (\phi_i \phi_i )    \right]    \tag{14.29}\]

$( i = 1,2, \cdots , N )$ をもつ $N$ 次元の実ベクトル場 $\phi = ( \phi_1 , \phi_2 , \cdots , \phi_N )^T$ の理論を考える。明らかにハミルトニアンは変換

\[    \phi_i ~ \longrightarrow ~ R_{ij} \phi_j    \tag{14.30} \]

のもとで不変である。ただし、$ R_{ij}$ は直交関係

\[    R_{ij} R_{ik } \, = \, \del_{jk}    \tag{14.31} \]

を満たす。つまり、行列表現で $( R^{T} R )_{jk} = \del_{jk} = {\bf 1}$ と書ける。ただし、${\bf 1}$ は $N \times N$ 恒等行列である。つまり、$R$ は $O(N)$ 群の要素である。

　前回の例と同様にハミルトニアンが下限をもつためには $\la > 0$ が必要となる。よって、$\si$ の符号により次のように場合分けができる。

1. $\si > 0$ の場合、基底状態は $\phi_i = 0$ で与えられる。このとき期待値は $\bra \Om | \phi_i | \Om \ket = 0$ であり、自発的対称性の破れは起きない。
2. $\si < 0$ の場合、$\H$ のポテンシャル項は $\la \left( \phi_i \phi_i - \frac{|\si |}{4 \la} \right)^2 - \frac{|\si |^2}{16 \la}$ と表せる。よって、古典的な基底状態は $\phi_i \phi_i = \phi_1^2 + \phi_2^2 + \cdots + \phi_N^2 = \frac{| \si |}{4 \la}$ で与えられる。

後者の場合、基底状態の期待値として例えば

\[     \phi^{(0)} \, \equiv \,    \bra \Om | \phi | \Om \ket \, = \,    \left( 0,  \cdots , 0, \sqrt{\frac{|\si |}{4 \la}} \right)^T        \tag{14.32} \]

を選べる。ベクトル成分で表すと、$\phi^{(0)}_{1} =\phi^{(0)}_{2} =  \cdots = \phi^{(0)}_{N-1} = 0$, $\phi^{(0)}_{N} = \sqrt{\frac{|\si |}{4 \la}}$ と書ける。$\phi^{(0)}$ は対称性群 $O(N)$ の部分群 $O(N-1)$ の変換のもとで不変であることに注意する。このような部分群 $H \subset G$ を $\phi^{(0)}$ の等方部分群 (isotropy group) あるいは小群 (little group) と呼ぶ。いまの場合、$H = O(N-1)$, $G =O(N)$ である。$\phi^{(0)}$ の不変性は

\[    R_{ij} (h ) \phi^{(0)}_{j}    \, = \, \phi^{(0)}_{i}    \tag{14.33} \]

と表せる。ただし、$h \in H$ である。$O(N-1)$ 群による $\phi_i$ の変換は

\[    \phi_i ~ \longrightarrow ~ R_{ij} (h) \phi_j \, = \, h^{-1} \phi_i \, h     \tag{14.34} \]

で与えられる。よって、$h^{-1} \phi_i \, h$ の基底状態での期待値は

\[\begin{eqnarray}    \bra \Om | h^{-1} \phi_i  h | \Om \ket    &=&    R_{ij} (h ) \bra \Om | \phi_j | \Om \ket    \nonumber \\    &=&    R_{ij} (h ) \phi^{(0)}_{j}    \, = \, \phi^{(0)}_{i}    \, = \,    \bra \Om | \phi_i  | \Om \ket    \tag{14.35} \end{eqnarray}\]

と計算できる。これより直ちに関係式

\[    h | \Om \ket \, = \, | \Om \ket   \tag{14.36} \]

が得られる。よって、部分群 H の対称性は自発的に破れない。

　自発的対称性の破れは部分群 $H$ に属さない $G$ の要素による変換で与えられる。$O(N)$ 群の生成子（あるいは $O(N)$ 代数の要素）を $T^A$ で表す。ただし、$A = 1,2, \cdots, \frac{1}{2}N(N-1)$ である。物理状態の直交変換は群の要素 $R = \exp ( i T^A \th^A )$ の作用で実現される。生成子 $T^A$ は $t^a \in \underline{H}$ と $S^{\al} \in \underline{G} - \underline{H}$ に分解できる。ただし、$\underline{G}$, $\underline{H}$ はそれぞれ $O(N)$ 代数と $O(N-1)$ 代数を表す。

\[    T^A \, = \, \left\{    \begin{array}{l}      t^a \, \in \underline{H} ~~~~~~~~~~~~ a = 1,2, \cdots, \frac{1}{2}(N-1)(N-2)  \\      S^{\al} \in \underline{G} - \underline{H} ~~~~~  \al = 1,2, \cdots, N-1    \end{array}    \right.    \tag{14.37} \]

$S^\al$ の独立な要素の数は ${\rm dim} G - {\rm dim} H$ で与えられる。期待値 $\phi^{(0)}_{i}$ の不変性 (14.33) は無限小近似で

\[    ( {\bf 1} + i t^a \th^a )_{ij} \, \phi^{(0)}_{j} \, =  \, \phi^{(0)}_{i}      \tag{14.38} \]

と表せる。よって、$\phi^{(0)}$ への $t^a$ と $S^\al$ の作用は

\[    t^a  \phi^{(0)} \, = \, 0 \, , ~~~    S^\al  \phi^{(0)} \, \ne \, 0    \tag{14.39} \]

で与えられる。

　ここで、簡単のためハミルトニアン(14.29)を

\[    \H \, = \,    \int d^3 x \left[    \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i )(\nabla \phi_i )    + V( \phi_i \phi_i )    \right]    \tag{14.40} \]

と書く。ただし、$V ( \phi_i \phi_i )$ はポテンシャル項

\[    V ( \phi_i \phi_i )    \, = \,    \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} \phi_i \phi_i     ~~~~~~ ( \si < 0 < \la ) \tag{14.41} \]

である。ハミルトニアンの極小化は

\[    \frac{\d V}{\d \phi_i}  \, = \, 0   \tag{14.42} \]

で与えられる。古典的な基底状態 $\phi^{(0)}$ は上式の解である。ポテンシャル項の $O(N)$ 変換のもとでの不変性は

\[    \del V \, = \, \frac{\d V}{\d \phi_i} \del \phi_i \, = \, 0  \tag{14.43} \]

と表せる。ここで、$\del \phi_i$ は $O(N)$ 変換による $\phi_i$ の変分

\[    \phi_i ~ \longrightarrow ~ \phi_i^\prime \, = \, R_{ij} \phi_i    \, \approx \, (\del_{ij} + i \th^A T^{A}_{ij} ) \phi_j   \tag{14.44} \]

である。無限小近似で $\del \phi_i = i \th^A T^{A}_{ij} \phi_j$ となるので、関係式(14.43)は

\[    \frac{\d V}{\d \phi_i} \, T^{A}_{ij} \, \phi_j  \, = \, 0     \tag{14.45} \]

と書ける。$\phi_k$ について微分をとると、

\[    \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k } \, T^{A}_{ij} \, \phi_j    \, + \,    \frac{\d V}{\d \phi_i} T^{A}_{ik} \, = \, 0    \tag{14.46} \]

となる。上式の全ての $\phi_i$ を $\frac{\d V}{\d \phi_i} = 0$ の解、すなわち $\phi_i = \phi_{i}^{(0)}$ とおくと、

\[    \left(    \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k }    \right)_{\phi^{(0)}}    T^{A}_{ij} \phi^{(0)}_{j} \, = \, 0    \tag{14.47} \]

を得る。古典的な基底状態 $\phi^{(0)}$ からの励起モード $\eta_i$ の動力学は実ベクトル場

\[    \phi_i = \phi^{(0)}_{i} + \eta_i    \tag{14.48} \]

をハミルトニアン(14.40)に代入して解析できる。$\phi_{i}^{(0)}$ の周りでの $V$ のテイラー展開を用いると、ハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray}    \H & = & \int d^3 x \left[    \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi )^2 + V (\phi_i \phi_i )    \right]    \nonumber \\    &=&  \int d^3 x \Biggl[    \frac{1}{2} \dot{\eta}^2 + \frac{1}{2} (\nabla \eta )^2 + V (\phi^{(0)}_{i} \phi^{(0)}_{i} )    \nonumber \\    && ~~~~~~~~~    +  \left(    \frac{\d V }{\d \phi_i}    \right)_{\phi^{(0)}} \! \eta_i    + \frac{1}{2} \left( \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k } \right)_{\phi^{(0)}} \! \eta_i \eta_k    + \O (\eta^3 )  \Biggr]      \nonumber \\    &=&  \int d^3 x \left[    \frac{1}{2} \dot{\eta}^2 +  \frac{1}{2}(\nabla \eta )^2     + \frac{1}{2} \M_{ik} \, \eta_i \eta_k    + \O (\eta^3 ) + \mbox{(const)} \right]    \tag{14.49} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、$\M_{ik}$ は

\[    \M_{ik} = \left( \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k } \right)_{\phi^{(0)}}   \tag{14.50} \]

で定義される。式(14.49)から $\M_{ik}$ の固有値は $\eta$ モードの質量 (あるいはギャップ) を与えることが分かる。$\M_{ik}$ を用いると関係式(14.47)は

\[    \M_{ik} \, \xi^A_i \, = \, 0    \tag{14.51} \]

と書ける。ただし、$\xi^A_i $ は

\[    \xi^A_i \, = \, T^{A}_{ij} \, \phi^{(0)}_{j}   \tag{14.52} \]

で定義される。よって、(14.37)と(14.39)から $\xi^A_i$ は $\xi^a_i = 0$ と $\xi^\al_i \ne 0$ に分解できる。

\[    T^A \, = \, \left\{    \begin{array}{cl}    t^a : &    t^a \phi^{(0)} = 0 ~ \rightarrow ~ \xi^a_i = 0 \\    S^\al : &  S^\al \phi^{(0)} \ne 0 ~ \rightarrow ~ \xi^\al_i \ne 0 \\    \end{array}    \right.   \tag{14.53} \]

関係式(14.51)と合わせると、後者の場合は $\M_{ik} = 0$ を得る。すなわち、$\xi^\al_i \ne 0$ の場合に質量ゼロの $\eta$ モードが現れる。

　以上の結果は次のようにまとめられる。

自発的対称性の破れ ($S^\al \phi^{(0)} \ne 0$) に対応する生成子 $S^\al$ のそれぞれについて、ゼロ・モード（質量ゼロ、ギャップ・ゼロ）となる励起モード $\eta$ が存在する。

これは、一般的な対称性群 $G$ とその等方部分群 $H$ にも適用できるので、一般化されたゴールドストンの定理と解釈できる。

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GeoGebra

GeoGebra - Wikipedia

こんなのがあるとは知りませんでした。だいぶ前からあったようです。関数グラフと言えば gnuplot だと思っていましたが、GeoGebra なら中学生でも使えるし解析関数の理解に役立つこと間違いなし。先生方も問題作成が楽になりますね。

手塚治虫展

8月最終日に子供と手塚治虫展に行ってきました。

14. 自発的対称性の破れ vol.1

物理系は一般にハミルトニアン $\H$ で定義される。このハミルトニアンが対称性群 $G$ の生成子 $Q^a$ $( a = 1, 2, \cdots , \dim G )$ と交換可能な場合、すなわち $[ Q^a , \H ]=0$ のとき、ハミルトニアン $\H$ は対称性 $G$ をもつと言う。ハミルトニアン $\H$ に $Q^a$ と交換可能でない項が含まれる場合、この対称性は完全ではない。1.4節で述べたように系の物理状態は対称群 $G$ の既約表現で分類される。(各既約表現に属す物理状態は互いに縮退している。)　基底状態が対称性変換のもとで不変でないときこの対称性は自発的に破れる。すなわち、自発的対称性の破れは基底状態 $| \Om \ket$ が条件式

\[    Q^a \, | \Om \ket \, \ne \,  | \Om \ket     \tag{14.1} \]

を満たす場合に起きる。

14.1 自発的対称性の破れの例

強磁性体のハイゼンベルク模型

　自発的対称性の破れの典型的な例として強磁性体のハイゼンベルク模型がある。このハミルトニアンは

\[    \H \, = \, - \sum_{i,j} J_{ij} \, \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j    \tag{14.2} \]

で与えられる。ただし、$i,j$ は格子点、$J_{ij}$ は結合係数、$\vec{S}_i = S^a_i$ ($a=1,2,3$) は格子点 $i$ でのスピン・ベクトルを表す。格子点の添え字について縮約を取るので、ハミルトニアンは完全な回転対称性を持つ。全スピン角運動量はスピン・ベクトルの和で

\[    L^a \, = \, \sum_i S^a_i     \tag{14.3} \]

と表せ、これは交換関係

\[    \left[ L^a , S^b_i \right] \, = \, i \ep^{abc} S^c_i     \tag{14.4} \]

を満たす。よって、

\[    \left[ L^a , \H \right] \, = \, 0     \tag{14.5} \]

と求まり、物理系が回転対称性を確かに持つことが分かる。強磁性体の基底状態は一定方向の磁化を持つので、基底状態は回転のもとで不変でない。つまり、条件式(14.1)は

\[    L^a \, | \Om \ket \, \ne \, | \Om \ket    \tag{14.6} \]

として実現される。ただし、$| \Om \ket$ は強磁性体の基底状態を表す。

　ここで、自発的対称性の破れはないものとし、基底状態は回転変換のもとで不変であると仮定して、回転群 $O(3)$ のテンソル演算子 $A_M$ の基底状態における期待値 $\bra \Om | A_M | \Om \ket$ を考えよう。群の要素は $ g = \exp ( i L^a \th^a )$ と表せる。ただし、$L^a$  $(a = 1,2,3)$ は角運動量演算子、$\th^a$ は実数パラメータである。上の仮定は関係式 $e^{i L^a \th^a } | \Om \ket = | \Om \ket$ を意味する。よって、期待値 $\bra \Om | A_M | \Om \ket$ は

\[\begin{eqnarray}    \bra \Om | A_M | \Om \ket    &=&    \bra \Om | e^{- i L \cdot \th} A_M \, e^{i L \cdot \th} | \Om \ket    \nonumber \\    &=&    \D_{MN}  (\th ) \,  \bra \Om | A_N | \Om \ket    \tag{14.7} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、$\D_{MN}  (\th)$ は $O(3)$ 群のウィグナー $\D$ 関数を表す。

\[    e^{- i L \cdot \th} A_M  \, e^{i L \cdot \th}    \, = \,    \D_{MN} (\th ) \, A_N     \tag{14.8} \]

13章で見たようにテンソル $A_M$ がベクトルであれば $\D_{MN}  (\th )$ は $O(3)$ 群の随伴表現に対応する。任意のパラメータ $\th$ に対して $\D_{MN} (\th ) \ne \del_{MN}$ であるので、関係式(14.7)から $\bra \Om | A_M | \Om \ket = 0$ となる。つまり、$| \Om \ket$ が対称性変換のもとで不変であるとの仮定から関係式 $\bra \Om | A_M | \Om \ket = 0$ を導ける。よって、対偶をとると条件式

\[    \bra \Om | A_M | \Om \ket \ne 0 ~~ \longrightarrow ~~    e^{i L \cdot \th } | \Om \ket \ne | \Om \ket     \tag{14.9} \]

が成り立つことが分かる。すなわち、期待値 $\bra \Om | A_M | \Om \ket$ がゼロでない場合に自発的対称性の破れが起きる。強磁性体では、基底状態で非自明な磁化をもつので磁束密度 (あるいは磁気モーメントの総和) の期待値はゼロでない。このような期待値を正しく評価するには、ハミルトニアンの極小化から基底状態 $| \Om \ket$ を求める必要がある。

Mathematical Review 129: 重力子散乱振幅 Amplituhedron-like 構成の試み

久しぶりに重力散乱振幅についての論文のレビュー依頼が来ました。前回のレビューはこちら。あまり進展してないなぁとの印象。それより、数ある重力子の MHV (maximally-helicity-violating) 振幅のうち何故に Hodges の式を使うのか良く分かりませんでした。が、そんなこと突っ込んでも仕方ないので著者の意向をくみ取ってレビューしました。こちらの通り。内容には踏み込まず背景知識の整理が大半を占めるというヒストリカルなレビューになってしまいました。数学の方にも是非、散乱振幅研究の歴史的な側面を知ってもらえればと思います。Amplituhedron では重力子散乱は上手くいかないというのは知りませんでした。私としては Amplituhedron でなくツイスター空間上のホロノミー形式による散乱振幅の研究を進めなきゃなあ。なんて思いながら実際最近は何も出来ていないことに慚愧の念が堪えません。

13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.10

13.3.3 Case-Gasiorowicz-Weinberg-Witten の定理

ケイス-ガシオロウィッツ-ワインバーグ-ウィッテン (Case-Gasiorowicz-Weinberg-Witten) の定理（ワインバーグ-ウィッテンの定理と呼ばれることが多い）はつぎの２つの主張から成る。

1. スピンが $> \hf$ となる質量ゼロの荷電粒子は存在しない。
2. スピンが $> 1$ となる質量ゼロの粒子のうち保存エネルギー・運動量テンソルを持つものは存在しない。

この Case-Gasiorowicz-Weinberg-Witten (CGWW) の定理は元々1960年代にケイスとガシオロウィッツによって示され、1980年代にワインバーグとウィッテンによって改めて示された。以下では、この定理を行列要素の選択則として簡単に証明する。

質量ゼロ１粒子状態とその規格化

　質量ゼロの粒子の４元運動量を $p^\mu = ( \om , \vec{p} )$ をとする。ただし、$p^0  = \om$ は $\om = |\vec{p}|$ の値をとる。また、４元電流密度 (４元カレント) を $J^\mu  = ( J^0 , \vec{J})$ とおく。ただし、$J^\mu$ は電荷の保存則 $\d_\mu J^\mu = 0$ を満たす。以下では、１粒子状態 $| p \ket$ と $| p^\prime \ket$ で挟まれた $J^\mu$ の行列要素 $\bra p^\prime | J^\mu | p \ket$ に注目する。そこで、まずこれらの１粒子状態について考える。$p$-積分のローレンツ不変な積分測度は

\[    d \mu (p ) \, = \, \frac{d^3 p}{( 2 \pi )^3 } \frac{1}{2 \om}     \tag{13.180} \]

と表せるので、状態 $| p \ket$ の完全性は

\[     \int | p \ket  \frac{d^3 p}{(2 \pi )^3} \frac{1}{2 \om} \bra p | \, = \, 1    \tag{13.181} \]

と書ける。このとき、状態の正規直交性は条件式

\[    \bra p^\prime | p \ket \, = \, (2 \pi )^3 \, 2 \om \, \del^{(3)} ( \vec{p}^{\, \prime}  - \vec{p} )    \tag{13.182} \]

と表せる。粒子が空間体積 $V= L^3$ の立方体の中にあるとみなし、計算の最終段階で$V \rightarrow \infty$ の極限をとるものとする。このとき、 空間座標の周期的境界条件から $\vec{p}$ は

\[    \vec{p} = \frac{2\pi \vec{n}}{L}    \tag{13.183}\]

と表せる。ただし、$\vec{n} = ( n_1 , n_2 , n_3 )$ であり、各成分 $n_i$ $(i=1,2,3)$ は整数の値をとる。これらの成分を用いて $p$ と $p^\prime$ のクロネッカーのデルタは

\[    \del_{p, p^\prime } \, = \, \del_{n_1 , n_1^\prime } \del_{n_2 , n_2^\prime } \del_{n_3 , n_3^\prime }     \tag{13.184} \]

と定義できる。デルタ関数 $\del^{(3)}( \vec{p} - \vec{p}^{\, \prime} )$ を用いると（最終的に $V \rightarrow \infty$ の極限をとるとの理解のもと）$\del_{p, p^\prime }$ は

\[    \del_{p, p^\prime } \, = \,  \frac{(2 \pi)^3}{V} \del^{(3)}( \vec{p} - \vec{p}^{\, \prime} )    \tag{13.185} \]

と表せる。よって、直交性(13.182)より１粒子状態を

\[    | \widetilde{p} \ket  \, = \, \frac{| p \ket}{\sqrt{2\om V}}    \tag{13.186} \]

と規格化すると正規直交条件は $\bra \widetilde{p } | \widetilde{p}^{\prime } \ket  \, = \, \del_{p, p^\prime}$ と表せることが分かる。以下では簡単のため規格化された１粒子状態 $| \widetilde{p} \ket$ を $|p \ket$ と再定義する。すなわち、以下の議論では正規直交条件として

\[    \bra p  | p^{\prime } \ket  \, = \, \del_{p, p^\prime}    \tag{13.187} \]

を用いることにする。

行列要素の計算

　つぎに、正規直交条件(13.187)を用いて行列要素 $\bra p^\prime | J^\mu |  p \ket$ を計算する。$J^0$ は電荷密度を表すので粒子の電荷演算子は

\[    \widehat{Q} \, = \, \int d^3 x \, J^0      \tag{13.188} \]

で与えられる。１粒子状態 $| p \ket$ に作用する演算子 $\widehat{Q}$ の固有値が粒子の電荷 $Q$ である。

\[ \widehat{Q} \, | p \ket \, = \, Q \, | p \ket  \tag{13.189} \]

これより、$| p^\prime \ket \rightarrow | p \ket $ の極限における行列要素 $\bra p^\prime | \widehat{Q} | p \ket$ として電荷 $Q$ を定義できる。

\[ \lim_{p^\prime \rightarrow p} \bra p^\prime | \widehat{Q} | p \ket  \, = \,  \lim_{p^\prime \rightarrow p} \int \! d^3 x \, \bra p^\prime | J^0 | p \ket   \, = \,  V  \frac{Q}{V}  \, = \, Q \tag{13.190} \]

よって、$| p^\prime \ket \rightarrow | p \ket $ の極限で行列要素 $\bra p^\prime | J^0 | p \ket$ は

\[    \lim_{p^\prime \rightarrow p}    \bra p^\prime | J^0 | p \ket    \, = \, \frac{Q}{V}    \tag{13.191} \]

で与えられる。$V$ は空間体積なのでこれは確かに電荷密度を与えることが分かる。４元カレント $J^\mu$ はローレンツ共変であり $\d_\mu J^\mu = 0$ を満たすので、$J^\mu$ の行列要素は

\[ \lim_{p^\prime \rightarrow p} \bra p^\prime | J^\mu | p \ket  \, = \, Q \frac{p^\mu}{ \om V}  \tag{13.192} \]

と表せる。$p^\mu$ と $p^{\prime \mu}$ は質量ゼロ粒子の4元運動量なので、$p \cdot p = p^\prime \cdot p^\prime = 0$ であり、

\[    ( p + p^\prime )^2 \, = \, 2 p \cdot p^\prime \, = \,    2 \om \om^\prime (1 - \cos \th ) > 0    \tag{13.193} \]

を満たす。ただし、$\th$ は $\vec{p}$ と $\vec{p}^\prime$ の間の角度である。上式は $( p + p^\prime )^\mu $ が time-like ベクトルであること、つまり、計量 $(+---)$ のもとで時間成分が空間成分より優勢になることを意味する。よって、$\vec{p} + \vec{p}^\prime = 0$ となるフレームを選ぶことができる。(これは $\cos \th = -1$ に対応する。) すなわち、中心運動量フレーム

\[    p^{\mu} = ( \om ,  \vec{p} ) \, , ~~~    p^{\prime \, \mu} = ( \om , - \vec{p} )     \tag{13.194} \]

を採用できる。このとき、行列要素 $\bra p^\prime | J^\mu | p \ket $ は $\bra \! -  \vec{p} |  J^\mu  | \, \vec{p} \ket$ と表せる。

　ここで、$\vec{p}$ 方向の角運動量演算子を $L_{\hat{p}}$ とすると、定義から

\[    e^{ i L_{\hat{p}} \phi} | \, \vec{p} \ket     \, = \, e^{i s \phi} | \, \vec{p} \ket \, , ~~~    e^{ i L_{\hat{p}} \phi} | \!\! - \!  \vec{p} \ket     \, = \, e^{- i s \phi} | \!\! - \!  \vec{p} \ket    \tag{13.195} \]

と書ける。ただし、$s$ は質量ゼロ粒子のスピン (ヘリシティとも言う) であり、$\phi$ は $\vec{p}$ を軸にした回転量 (ゼロでない角度) を表す。上式から行列要素 $\bra \! -  \vec{p} |  J^\mu  | \, \vec{p} \ket$ は

\[\begin{eqnarray}    \bra  \! -  \vec{p} | \, J^\mu \, | \, \vec{p} \ket    & = &    \bra \! -  \vec{p} |    ~ e^{-i L_{\hat{p}} \phi } \,    e^{i L_{\hat{p}} \phi }    \, J^\mu    \, e^{-i L_{\hat{p}} \phi }    e^{i L_{\hat{p}} \phi }~    | \, \vec{p} \ket    \nonumber \\    &=&    e^{i 2 s \phi }   \, \bra \! -  \vec{p} | ~    e^{i L_{\hat{p}} \phi }    \, J^\mu    \, e^{-i L_{\hat{p}} \phi } ~    |  \, \vec{p}  \ket    \nonumber \\    &=&    e^{i 2 s \phi } \,  \D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} )  \,    \bra  \! -  \vec{p} | \, J^\nu \, | \, \vec{p}  \ket    \tag{13.196} \end{eqnarray}\]

と表せることが分かる。ただし、$\D$ 関数  $\D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} )$ は

\[ e^{i L_{\hat{p}} \phi }    \, J^\mu    \, e^{-i L_{\hat{p}} \phi }    \, = \,    \D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} )  \,    J^\nu   \tag{13.197} \]

と定義される。これは、13.2節で解説したように ウィグナーの $\D$ 関数が一般に

\[    U^{-1} (\th ) \, Q^{A} \, U  (\th )    \, = \,    \D^{(R)}_{AB} ( g ) \, Q^B    \tag{13.70} \]

と定義されることからも分かる。(13.197)の $\D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} )$ は回転群 $SO(3)$ のスピン１表現 $(l = 1)$ で与えられる。その具体的な形は13.2節の

\[    \D^{ab} ( g) \, = \, \exp \left[ i ( T^c )^{ab} \th^{c} \right]     \tag{13.63} \]

\[    \D^{m^\prime m} ( g ) \, = \,  \D_{m^\prime m}^{(l = 1)} ( g )      \tag{13.67} \]

の通りである。ただし、$g$ は $SO(3)$ 群の要素であり、$( T^c )^{ab} = - i \ep^{abc}$ は $SO(3)$ 群の構造定数を表す。添え字 $a$, $b$ は空間座標 $(1,2,3)$を表し、$m$, $m^\prime$ は球面基底

\[    x^{\pm } = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \mp x^1 - i x^2 ) \, , ~~ x^3     \tag{13.65} \]

の座標 $(\pm , 3 )$ を表す。いまの場合、$\vec{p}$ を $x^3$ 方向に指定できるので(13.197)の $\D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} )$ は

\[ \D^{ m m^\prime} \! ( e^{i \phi} ) \, = \, \exp \left[ \ep^{m m^\prime 3 } \phi \right] \tag{13.198} \]

と書ける。ただし、時間成分は空間回転に関与しないので添え字 $\mu$, $\nu$ を 球面基底座標 $m$, $m^\prime$ に置き換えた。$\ep^{+-3} = i$, $\ep^{-+3} = -i$, $\ep^{++3} = \ep^{--3} = 0$ に注意すると、$\D^{ m m^\prime} \! ( e^{i \phi} )$ の値は

\[ \D^{ m m^\prime} \! ( e^{i \phi} ) \, \in \, \{ e^{\pm i \phi} , \, 1  \} \tag{13.199} \]

に限られることが分かる。

　関係式(13.196)から $e^{i2 s \phi }  \, \D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} ) = 1$ となる場合がなければ、行列要素 $\bra \! -  \vec{p} | J^\mu | \, \vec{p} \ket$ はゼロとなる。一方、(13.192)から

\[ \lim_{| \! - \! \vec{p} \ket  \rightarrow | \, \vec{p} \ket } \int \! d^3 x \,  \bra \! -  \vec{p} | J^\mu | \, \vec{p} \ket  \, = \, Q  \, \hat{n}^\mu  \tag{13.200} \]

と表せる。ただし、$\hat{n}^\mu = ( 1, 0,0,1 )$ である。よって、荷電粒子 $( Q \ne 0 )$ に対して行列要素 $\bra  - \! \vec{p} | J^\mu | \, \vec{p} \ket $ は ($| \! - \! \vec{p} \ket  \rightarrow | \, \vec{p} \ket$ の極限で) ゼロとならない。したがって、質量ゼロの荷電粒子が存在するためには少なくともある$(\mu , \nu )$ の組み合わせに対して

\[    e^{2 i s \phi } \, \D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} ) \, = \, 1  \tag{13.201} \]

が成り立つ必要がある。(13.199)を用いるとこの条件式(13.201)はスピンが $2s \le 1$ の場合にのみ満たされることが分かる。よって、CGWW 定理の一つ目の主張が示された。

　CGWW 定理の２つ目の主張についても同様にエネルギー・運動量テンソル $T^{\mu \nu}$ の行列要素 $\bra p^\prime | T^{\mu \nu} | p \ket$ を用いて示すことができる。ただし、$T^{\mu \nu}$ はエネルギー保存則 $\d_\mu T^{\mu\nu} = 0$ を満たす。$T^{\mu \nu}$ はランク２の対称テンソルなので(13.197)に対応する $\D$ 関数は回転群 $SO(3)$ のスピン２表現 $(l = 2)$ で与えられる。13.2節の

\[    T^m \, = \, r^2 \, Y_2^m ( \vartheta , \varphi) \, \longrightarrow \,    T^{m^\prime  } \,= \, r^2 \, \D_{m^\prime m}^{(l = 2)} ( g ) \,  Y_2^m ( \vartheta , \varphi )    \tag{13.69} \]

で紹介したようにこの $\D$ 関数は $ \D_{ m m^\prime}^{(l=2)} ( g ) $ で表せる。ただし、$m$, $m^\prime$ は $(0, \pm 1 , \pm 2 )$ の値をとる。よって、行列要素 $\bra \! - \! \vec{p} | T^{\mu \nu} | \, \vec{p} \ket$ の計算に現れる $\D$ 関数は $\D_{ m m^\prime}^{(l=2)} ( e^{i \phi} )$ で与えられる。スピン１表現の場合と同様に、これは

\[ \D_{ m m^\prime}^{(l=2)} ( e^{i \phi} ) \, \in \, \{ e^{\pm i 2 \phi} , \,  e^{\pm i \phi} , \, 1  \} \tag{13.202} \]

と計算できる。ただし、$m, m^\prime = (0, \pm 1 , \pm 2 )$ である。したがって、条件式(13.201)を適用すると、保存エネルギー・運動量テンソルをもつ質量ゼロの粒子はスピン $s$ が $s \le 1$ の場合にのみ存在することが分かる。これより、CGWW 定理の２つ目の主張が示された。

　以上の証明では行列要素を評価するに当たりウィグナーの $\D$ 関数を利用した。この手法は13.2節で紹介したウィグナー-エッカルトの定理の導出と類似している。（例えば、13.2節の(13.70)を参照のこと。）この意味で CGWW 定理の証明はウィグナー-エッカルト型の応用例の1つであると見做せる。