前回のエントリーの最後に $K^0$ メソンの $CP$ 変換が
\[
K_{CP}^{0} = - \bar{K^0} \, , ~~~~ \bar{K^0}_{CP} = - K^0
\tag{1}
\]
となることをさらっと紹介しました。しかし、厳密には $K^0$ メソン場（擬スカラー場）の定義に含まれる自由度から $CP$ 変換に起因する位相 $\eta_K$ が生じるため、$K_{CP}^{0} = \eta_K \bar{K^0} \, , ~ \bar{K^0}_{CP} = \eta_K^* K^0$ となる。ただし、文献では慣習的に $\eta_K =1$ あるいは $\eta_K = -1$ が採用される。以下では、復習もかねてナイアの教科書（基礎編の326ページ）
\[
K_{CP}^{0} = - \bar{K^0} \, , ~~~~ \bar{K^0}_{CP} = - K^0
\tag{1}
\]
となることをさらっと紹介しました。しかし、厳密には $K^0$ メソン場（擬スカラー場）の定義に含まれる自由度から $CP$ 変換に起因する位相 $\eta_K$ が生じるため、$K_{CP}^{0} = \eta_K \bar{K^0} \, , ~ \bar{K^0}_{CP} = \eta_K^* K^0$ となる。ただし、文献では慣習的に $\eta_K =1$ あるいは $\eta_K = -1$ が採用される。以下では、復習もかねてナイアの教科書（基礎編の326ページ）
に沿って $K^0 = i {\bar s} \ga_5 d = i s^\dagger \ga_0 \ga_5 d$ の $CP$ 変換を具体的に計算してみよう。フェルミオン場（スピノール）$\psi$ の $CP$ 変換を $\widetilde{\psi}$ とおくとこれは
\[
\psi ( x^0 , \vec{x} ) = C \widetilde{\psi}^* ( x^0 , - \vec{x} )
\tag{2}
\]
で定義される。ここで $C$ は荷電共役行列でありガンマ行列を用いて
\[
C^{-1} \ga_\mu C = - \ga_{\mu}^{T}
\tag{3}
\]
で定義される。ガンマ行列として良く使われるもの
\[
\ga_0 =
\left(
\begin{array}{cc}
1&0 \\
0&1 \\
\end{array}
\right) \, , ~~
\ga_i =
\left(
\begin{array}{cc}
0& \si_i \\
- \si_i & 0 \\
\end{array}
\right)
\tag{4}
\]
($i = 1,2,3, ~~ \si_i$ はパウリ行列)を選ぶと
\[
C = i \ga_0 \ga_2 \, , ~~~~ C^\dagger = C^{-1} = - C
\tag{5}
\]
C = i \ga_0 \ga_2 \, , ~~~~ C^\dagger = C^{-1} = - C
\tag{5}
\]
となる。以下では時間変化を考えないので $x^0$ は省略する。また表記上の理由から $s = \psi_s$, $d = \psi_d$ とする。（$s$ のままだと $CP$ 変換が $\widetilde{s}$ となってしまい、${\bar s}$ と区別がつきにくいため。）$\psi_s(\vec{x}) = C \widetilde{\psi_s}^* ( - \vec{x} )$, $\psi_d (\vec{x}) = C \widetilde{\psi_d}^* ( - \vec{x} )$ となるので $K^0 = i {\bar \psi_s} \ga_5 \psi_d $ は次のように書き換えられる。
\begin{eqnarray}K^0 (\vec{x}) & = & i \psi_s^\dagger (\vec{x}) \ga_0 \ga_5 \psi_d (\vec{x}) \\
&=& i \widetilde{\psi_s}^{T} ( - \vec{x} ) C^{-1} \ga_0 \ga_5 C \widetilde{\psi_d}^* ( - \vec{x} ) \\
&=& - i \widetilde{\psi_s}^{T}( - \vec{x} ) \ga_0^T \ga_5^T \widetilde{\psi_d}^* ( - \vec{x} ) \\
&=& i \left( \widetilde{\psi_d}^\dagger \ga_5 \ga_0 \widetilde{\psi_s} \right) ( - \vec{x} ) \\
&=& - i \left( \widetilde{\psi_d}^\dagger \ga_0 \ga_5 \widetilde{\psi_s} \right) ( - \vec{x} ) \\
&=& - \bar{K^0}_{CP} ( - \vec{x} )
\tag{6}
\end{eqnarray}
ただし、上式では ${\bar \psi_s} = \psi_s^\dagger \ga_0$, $\psi_s \psi_d = - \psi_d \psi_s $, $\ga_5 = i \ga_0 \ga_1 \ga_2 \ga_3$, $\ga_0 \ga_5 = - \ga_5 \ga_0$ などの関係式を用いた。同様にして
\[
\bar{K^0} (\vec{x}) = - K^{0}_{CP} ( - \vec{x} )
\tag{7}
\]
となる。また ${K^0}^* = \bar{K^0}$ である。
つぎに、$K^0$, $\bar{K^0}$ を場の演算子として中性 $K$ 粒子系を直接記述する低エネルギー有効ラグランジアン
\[
{\cal L}_{eff}^{K^0 \bar{K^0}} = \d_\mu K^0 \d_\mu \bar{K^0}
- 2 \al K^0 \bar{K^0} + \bt K^0 K^0 + \bt^* \bar{K^0} \bar{K^0}
\tag{8}
\]
を考えよう。ここで $\al$ は主に強い相互作用によって決まる実係数である。これは $K^0
\bar{K^0}$ の項が $s$ クォークの数を保存することから予測できる。一方、ラグランジアンがエルミート共役であることから $\bt$ は複素係数でありこれは主に弱い相互作用によって決まる。というのも、$K^0 K^0$, $\bar{K^0} \bar{K^0}$ は $s$ クォークが $|\Del s| = 2$ だけ変化する過程に対応するためである。第一項 $\d_\mu K^0 \d_\mu \bar{K^0}$ は運動項であり、その作用は $CP$ 不変である。つまり、
\[
S_{kin} (K^0 , \bar{K^0} ) = \int d^4 x \d_\mu K^0 \d_\mu \bar{K^0} =
\int d^4 x \d_\mu \bar{K^{0}}_{CP} (- \vec{x}) \d_\mu K_{CP}^{0} (- \vec{x}) = S_{kin} (K_{CP}^{0} , \bar{K^{0}}_{CP})
\]
となる。全項を含めた有効作用 $S_{full} = \int d^4 x {\cal L}_{eff}^{K^0 \bar{K^0}}$ は(1)あるいは(6),(7)から
\[
S_{full} (K^0 , \bar{K^{0}} , \al , \bt ) = S_{full} (K_{CP}^{0} , \bar{K^{0}}_{CP} , \al , \bt^* )
\]
となることがわかる。したがって、$\bt$ が実数なら有効作用は $CP$ 不変となり、$CP$ 対称性の破れは $\bt$ の虚部に起因する。$\al, \, \re \bt , \, \im \bt$ はそれぞれ強い相互作用、 $CP$ 不変な弱い相互作用、$CP$ 対称性を破る弱い相互作用を表すパラメータなので、これらの関係性は
\[
\al \gg | \re \bt | \gg |\im \bt |
\tag{9}
\]
となると予想される。
