Yasuhiro Abe | a personal blog

去年 に引き続きお伊勢参りに母と次女で行ってきました。去年は伊勢に2泊して熊野本宮大社に寄ったのですが、今年は伊勢のルートインが１日しか予約取れなかったので２日目は和歌山の海南に泊まることにしました。1日目は鎌倉から志摩まで行き、以前から気になっていた伊勢神宮別宮の伊雑宮（いざわ...

13.2 ウィグナー-エッカルトの定理 リー群 $G$ で対称性が記述される物理系において、あるテンソル演算子 $Q^A$ に注目しよう。 前節 で解説したように状態は $G$ の表現 $R$ とその表現に属す特定のベクトル、例えば $\al$ で指定できる。対称性のもとで状態 ...

ピーター-ワイルの定理 　 前回のエントリー ではリー群 $G$ 上で定義されるウィグナーの $\D$ 関数 \[\begin{eqnarray}    \D_{\al\bt}^{(R)} (g )    &=&    \left[ e^{i (T^a ) \th...

 13.1　ウィグナーの $\D$ 関数 随伴表現 　まず最初に $SU(N)$ 群の随伴表現を考える。 12.2節 と同様に群の要素は $g = \exp ( i t^a \th^a )$ $(a = 1,2, \cdots , N^2 -1 )$ と表せる。ただし、$t^a$...

コンパクト群 　 前回のエントリー では $SU(N)$ 群の既約表現を求めるテンソル解析について解説した。既約表現を構成するこのテンソル解析はコンパクト群一般にも適用される。実際、 ワイル  (Weyl) による次の定理が存在する。 コンパクト群 の全てのユニタリー既約表現は有...

12.3 既約表現 この節ではリー群要素 $g \in G$ の既約表現について考える。 12.1節 の初めに紹介した群の公理（合成則、結合則、単位元・逆元の存在）は群の要素を（可逆な）正則行列と見做しても成立する。実際、群の要素と行列の集合は 準同型 (homomorphic...

前回 のエントリーではリー群についてカルタン-キリング計量を導入し、計量を定義するフレーム場が満たすモーレー-カルタン恒等式を求めた。この恒等式とトーション・ゼロの条件式との類推から、リー群をリーマン多様体と解釈できることが分かった。リー群の幾何学を考察するにあたり重要となる量は...

登山道の一部閉鎖で車でしかアクセスできなくなってしまった伊吹山山頂。 ドライブウェイ が値上がりする直前の文化の日に遥々都内から遠征しました。8時開門と同時にゲートに到着。ただ、すでに駐車場で待機している車がいたので順番待ちをして9時前に山頂到着。広々とした駐車場です。ドライブウ...

12.2 リー群の幾何学的側面 前節ではリー群の概要について復習した。今節ではリー群を幾何学的な視点から考察する。まず、$SU(2)$ 群について調べ、その一般化を考える。結論として、リー群は一般にリーマン多様体と解釈できることを示す。 SU(2) 群 　$SU(2)$ 群の要素...

長年 WinEdt  を利用していますが、 索引作成 で戸惑ったので記録しておきます。 \usepackage{makeidx}  \makeindex   \printindex で作成されるはずなのになぜか更新されません。WinShell で日本語の LaTeX を作成したと...